第五章作业

一、回溯法分析“最小重量机器设计问题”

首先明确问题核心定义：
现有 n个部件，每个部件有 m个供应商 可选；第i个部件的第j个供应商提供的产品，重量为 w_{ij} 、价格为 c_{ij} （ 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m ）。要求选择每个部件的一个供应商，使得 总价格不超过预算C，且 总重量最小。

1.1 解空间

解空间是所有满足“每个部件选1个供应商”的选择组合集合，形式化表示为 n维向量集合：
S = { (x_1, x_2, ..., x_n) \mid x_i \in {1,2,...,m}, 1 \leq i \leq n }
• 其中 x_i = j 表示第i个部件选择第j个供应商；

• 解空间大小为 m^n （每个部件有m种选择，n个部件的全组合）；

• 约束条件：该向量对应的总价格 \sum_{i=1}^n c_{i,x_i} \leq C ；

• 目标：在满足约束的向量中，找到总重量 \sum_{i=1}^n w_{i,x_i} 最小的向量。

1.2 解空间树

解空间树是描述解空间的 m叉有序树，直观呈现所有选择路径，结构特征如下：

• 树的层数 = 部件个数n + 1（第0层为根节点，第1~n层对应n个部件的选择）；

• 根节点（第0层）：无部件选择，是所有路径的起点；

• 第k层节点（1 ≤ k ≤ n）：代表“前k个部件已完成选择”的中间状态，每个节点有m个分支（对应第k+1个部件的m个供应商选择）；

• 叶子节点（第n层）：代表完整解（所有n个部件均选好供应商），叶子节点总数 = 解空间大小 m^n ；

• 示例：n=2个部件、m=2个供应商时，解空间树为2叉树，根节点（0层）→ 第1层2个节点（部件1选供应商1/2）→ 第2层4个叶子节点（部件2选供应商1/2的组合）。

1.3 遍历过程中每个结点的状态值

为了实现剪枝（减少无效搜索）和计算目标函数，每个节点需记录3个核心状态值：

1. k ：当前已完成选择的部件个数（即节点所在层数， 0 \leq k \leq n ）；

2. sum_w ：前k个部件的累计重量（ sum_w = \sum_{i=1}^k w_{i,x_i} ）；

3. sum_c ：前k个部件的累计价格（ sum_c = \sum_{i=1}^k c_{i,x_i} ）。

• 状态值的作用：

◦ 若 sum_c > C ：当前路径已违反预算约束，直接剪枝（不再遍历该节点的子树）；

◦ 若 sum_w \geq 当前已知的最小重量 ：当前路径的重量已无优化空间，剪枝；

◦ 叶子节点（k=n）： sum_w 为完整解的重量，若满足 sum_c \leq C ，则更新全局最小重量。

二、对回溯算法的理解

回溯算法是一种 基于深度优先搜索（DFS）的穷举优化策略，核心是“试错+剪枝”，适用于解决“组合优化问题”（如最小重量机器设计、旅行商TSP、n皇后、子集和等），本质是对解空间的系统性遍历，通过提前终止无效路径（剪枝）减少搜索量。

核心思想

1. 定义解空间：将问题的所有可能解抽象为一个结构化集合（如向量、集合）；

2. 构建解空间树：将解空间组织为树状结构，每个节点代表一个中间解状态；

3. 深度优先遍历：从根节点出发，逐层选择一个分支向下探索，逐步构建完整解；

4. 剪枝策略：在遍历中通过“约束函数”（如预算约束 sum_c \leq C ）排除不可行路径，通过“限界函数”（如 sum_w \geq 当前最小值 ）排除非最优路径，减少无效搜索；

5. 回溯：当遍历到叶子节点（得到完整解）或触发剪枝条件时，返回上一层节点，尝试其他分支，直到遍历所有有效路径。

关键特征

• 与穷举法的区别：穷举遍历所有解，回溯法通过剪枝跳过无效路径，效率更高（但最坏时间复杂度仍为 O(m^n) ，适用于n较小的场景）；

• 核心依赖：解空间的结构化表示（便于树状遍历）和高效的剪枝函数（决定算法效率）；

• 适用场景：问题可分解为多步选择，每个选择有明确的约束条件，且需要找到满足约束的最优解或所有可行解。

与“最小重量机器设计问题”的关联

回溯法在该问题中，通过解空间树的深度优先遍历，用节点状态值（k, sum_w, sum_c）实时判断路径有效性，避免遍历所有 m^n 个解，最终高效找到“预算内最小重量”的最优解。