第四章作业

贪心算法核心解析与选点问题应用

一、贪心算法核心理解

贪心算法是一种逐步局部最优决策的启发式算法，每一步都选择当前状态下最优（或较优）的选项，不回溯、不考虑未来全局影响，最终期望通过局部最优累积得到全局最优，核心是贪心策略设计与全局最优可行性验证。

二、选点问题（经典区间覆盖类）分析

1. 问题定义（标准场景）

给定数轴上若干个闭区间 [a₁,b₁], [a₂,b₂], ..., [aₙ,bₙ]，选择最少的点，使得每个区间内至少包含一个选点，求最少选点数量。

2. 贪心策略设计

核心逻辑：优先选区间右端点作为选点，具体步骤如下：

1. 排序：将所有区间按 右端点从小到大 排序（核心预处理，保证局部最优可推导全局最优）；

2. 选点：初始化第一个选点为第一个区间的右端点 x = b₁，计数 count = 1；

3. 遍历：依次检查后续区间，若当前区间左端点 aᵢ > x（当前选点未覆盖该区间），则选该区间右端点作为新选点 x = bᵢ，计数 count += 1；

4. 结束：遍历完成后，count 即为最少选点数量。

5. 贪心选择性质证明（关键核心）

贪心选择性质定义

算法的第一个选择（选第一个区间右端点 b₁）是全局最优解的一部分，即存在一个全局最优解包含该选择。

证明过程（反证法）

1. 假设全局最优解 S 中，第一个选点为 x₀，且 x₀ ≠ b₁（不选第一个区间右端点）；

2. 因 x₀ 需覆盖第一个区间 [a₁,b₁]，故 x₀ ≤ b₁（区间闭区间，左端点 ≤ 选点 ≤ 右端点）；

3. 构造新解 S'：将 S 中的 x₀ 替换为 b₁，其余选点不变；

4. 验证 S' 有效性：

◦ 第一个区间仍被覆盖（b₁ 属于 [a₁,b₁]）；

◦ 后续区间：若原 x₀ 覆盖某区间 [aᵢ,bᵢ]，则 aᵢ ≤ x₀ ≤ b₁ ≤ bᵢ（因区间已按右端点排序，b₁ ≤ bᵢ），故 b₁ 也覆盖 [aᵢ,bᵢ]；

5. 结论：S' 仍为全局最优解（选点数量与 S 相同），且包含第一个选择 b₁，故贪心选择性质成立。

全局最优性推导

基于贪心选择性质，每一步局部最优选择（选当前区间右端点）均可纳入全局最优解，逐步累积后最终结果即为全局最优。

4. 时间复杂度分析

• 排序：区间排序时间复杂度为 O(n log n)（算法核心耗时步骤）；

• 遍历：遍历所有区间仅需 O(n)；

• 总复杂度：O(n log n)（由排序步骤主导，为最优复杂度，无法进一步优化）。

5. 拓展：其他选点场景贪心策略适配

• 场景1（区间选点覆盖所有点）：给定若干点，选最少区间覆盖所有点 → 按区间左端点从小到大排序，优先选左端点包含当前未覆盖点、且右端点最大的区间；

• 场景2（二维平面选点）：如矩形覆盖选点，需结合轴排序（如x轴优先），核心逻辑仍为“优先选边界极值点”，本质是一维策略的二维延伸。

三、贪心算法核心总结

1. 适用前提：问题需满足 贪心选择性质（局部最优可纳入全局最优）和 最优子结构性质（全局最优包含子问题最优）；

2. 核心步骤：问题建模 → 设计贪心策略 → 证明性质 → 实现与复杂度分析；

3. 关键特点：高效（通常线性或线性对数复杂度）、简洁，但并非所有问题适用（如0-1背包不可用，完全背包可用），核心是策略合理性验证。