第三次作业

1. 实践报告：数字三角形的动态规划分析

1.1 递归方程式、定义及边界条件

• 定义：设dp[i][j]表示从数字三角形的第i行第j列元素出发，到达最底层的最大路径和。

• 递归方程式：dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])

• 边界条件：当i为最后一行时，dp[i][j] = triangle[i][j]（因为已经到达底层，路径和就是自身元素值）。

1.2 填表法的表维度、填表范围、填表顺序及最优值位置

• 表的维度：二维表，维度为n×n（n为数字三角形的行数）。

• 填表范围：所有i（从n-1到0）和j（从0到i）的dp[i][j]。

• 填表顺序：从最后一行开始，向上逐行填表；每行内从左到右填表。

• 原问题的最优值位置：dp[0][0]（从三角形顶部出发的最大路径和）。

1.3 时间和空间复杂度分析

• 时间复杂度：需要填充n×n的表格，每个元素的计算时间为O(1)，因此时间复杂度为O(n²)（n为数字三角形的行数）。

• 空间复杂度：使用二维数组存储dp表，空间复杂度为O(n²)。若进行空间优化（例如使用一维数组从后往前更新），空间复杂度可优化至O(n)。

2. 对动态规划算法的理解和体会

动态规划算法的核心在于最优子结构和重叠子问题这两个关键性质。

• 最优子结构体现为原问题的最优解包含子问题的最优解，这使得我们可以通过递推的方式从子问题的解构建原问题的解，如“数字三角形”中每个位置的最优路径和依赖于其下方两个位置的最优路径和。

• 重叠子问题则是指在求解过程中，多个子问题会被重复计算，动态规划通过存储子问题的解（即填表）来避免重复计算，从而大幅提高效率，这与递归（尤其是暴力递归）有明显区别，递归可能会对同一子问题进行多次计算，导致时间复杂度急剧上升。

在应用动态规划时，通常遵循“定义状态→推导状态转移方程→确定边界条件→填表求解”的步骤。它适用于多种优化问题，如最短路径、背包问题等。其优势在于能将指数级复杂度的问题优化到多项式级别，劣势则是有时状态定义和转移方程的推导较为困难，且需要额外的空间存储子问题的解。通过学习动态规划，能深刻体会到“以空间换时间”的算法设计思想，也能培养从子问题入手分析复杂问题的思维方式。