Q4.2.2.8. 连边's 题解

格式化题面？

现在有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，现在需要你添加 \(k\) 条边，使得每个点的度数为偶数。限制：新添加的边之间互不为重边，不允许自环。点与点之间不同。
范围： \(n \le 1000\), \(m \le n\), \(k \le \min\{\frac{n(n-1)}{2},1000\}\)

算法筛选

抓取关键词：题目要求我们求出满足每个点都满足度数为偶数的条件（好似病句？），经过简单思考后发现并不好直接求导，所以考虑容斥原理(因为容斥原理擅长求导满足子问题的答案或是至少、至多满足条件的个数)。设 \(f_{i,j}\) 表示为添加了 \(i\) 条边后，度数为奇数的点的个数为 \(j\) 个的方案数。

实现算法

根据 \(\text{DP}\) 定义，思考添加一条边会对一个图有什么影响。最后分一下三种情况：

1. 奇度点连奇度点，减少了 \(2\) 个奇度点，连边方案为： \(C_{j+2}^2\)
2. 偶度点连偶度点，增多了 \(2\) 个奇度点，连边方案为： \(C_{n-j+2}^2\)
3. 奇度点连偶度点，奇度点的个数不变，连边方案为： \(j \times (n-j)\)

最后，将这三种情况加起来，就会得到一个有重边的方案数。考虑重边是在哪一条边重了，不难想到应该就是在 \(i-2\) 时可能选到的边有可能在未来会成为重边候选者。所以，将上述三种情况加起来减去重边方案数，就会得到一个连边顺序有顺序的方案数，但显然答案是不允许有顺序的，所以对于最终答案要除以 \(i\) 。

最终答案： \(f_{k,0}\)
边界：设一开始点的度数为奇数的点的数量为 \(S\)，则有 \(f_{0,S}=1\)

时空复杂度： \(\Theta(NK)\)