线性规划

背景
在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

定义
目标函数及约束条件均为线性函数。线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最值的问题

解的概念

\[\min c^T x \]

\[s.t.\begin{cases} Ax\le b\\ Aeq·x = beq\\ lb \le x \le ub \end{cases}\]

整数规划
（1）变量全限制为整数时，称完全整数规划
（2）变量部分限制为整数时，称混合整数规划

原线性规划有最优解，当自变量限制为整数时：
（1）原解为整数，整数解与原解一致
（2）无整数解
（3）有最优解，但最优解变差

一般形式

\[\max(\min) z = \sum_{j=1}^n c_j x_j \]

\[s.t.\begin{cases} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le(=,\ge)b_i(i = 1,2,...,m)\\ x_j \ge 0,且x_j为整数（j = 1,2,...n） \end{cases}\]