ABC338D 题解

赛时怎么连这题都不会。再不练练思维真的就连普及题都不会做了啊。

Solution

题目来源：ABC338D（in Atcoder | in 洛谷）。

不妨先考虑应该断掉哪条边。首先我们发现，仅断掉一条边并不会让两个结点不可达，只会让我们从一个结点绕更远的路到达目标结点。

如果我们要从结点 \(u\) 前往结点 \(v\)（假设 \(u < v\)），无非就两条路径（重复走过某条边无意义）：沿着 \(u\) 走过若干个 \(\ge u\) 且 \(\le v\) 的结点；从 \(u\) 走到 \(1\)，绕到 \(n\) 再走到 \(u\)。这两条路径经过的边数都很好算。前者为 \((v - u)\) 条，后者为 \([(u - 1) + (n - v) + 1] = (u + n - v)\) 条。

记两路径的边数差为 \(r = \left | (v - u) - (u + n - v) \right | = \left | -2u + 2v - n \right |\)。我们钦定走边数少的路径，如果断掉该路径上的任意一条边，我们都会绕另一条路，多走 \(r\) 条边。所以我们可以认为 该路径上的边被断掉的代价为 \(r\)。那么对于每组路径要求，我们可以直接离线地在环上差分，让该路径上所有边代价整体 \(+ r\)，再在最后用前缀和求出每条边被断掉的总代价。

最后只需断掉总代价最小的边即可。答案即为 所走过的最短路径之和 加上 最小代价 \(r_\min\)。

断环为链地实现差分和前缀和即可。实现时注意以下几点：

• 开 long long。打擂台取 \(\min\) 时上界不要开小。
• 不要混淆边的编号和点的编号。

code