光纤习题课1
🎯 第 1 章 至 第 4 章 核心计算题通关集锦
【第 1 章】
习题 1-1：光程差与相位差计算（重点）
【题目】 波长为 \(1.55\ \mathrm{\mu m}\) 的两束光沿 \(z\)方向传输，从 A 点移动到 B 点经历的路径不同，其光程差为 \(20\ \mathrm{\mu m}\)，计算这两束光的相位差。当光程差（或相位差）满足什么条件时，干涉会再次增强？
【标准解答】
已知波长 \(\lambda = 1.55\ \mathrm{\mu m}\)，光程差为 \(\Delta z = 20\ \mathrm{\mu m}\)。
- 根据相位差与光程差的关系公式：\[\Delta\phi = k \cdot \Delta z = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta z \]
- 代入数据计算：\[\Delta\phi = \frac{2\pi}{1.55\ \mathrm{\mu m}} \times 20\ \mathrm{\mu m} \approx 25.8\pi \approx 81.03\ \mathrm{rad} \]
- 干涉增强条件： 当相位差 \(\Delta\phi\) 为 \(2\pi\) 的整数倍（即 \(\Delta\phi = 2m\pi\)，\(m\) 为整数）时，光波会再次干涉增强。
【第 2 章】
习题 2-1：\(\mathrm{mW}\) 和 \(\mathrm{dBm}\) 功率换算与损耗
【题目】 一个 LED 的发射功率是 \(3\ \mathrm{mW}\)，如用 \(\mathrm{dBm}\) 表示是多少？经过 \(20\ \mathrm{dB}\) 损耗的光纤传输后还有多少光功率？（可以用 \(\mathrm{dBm}\) 或 \(\mathrm{mW}\) 表示）
【标准解答】
- \(\mathrm{mW}\) 转换为 \(\mathrm{dBm}\)：\[P_{\mathrm{in}}(\mathrm{dBm}) = 10 \log_{10}\left(\frac{3\ \mathrm{mW}}{1\ \mathrm{mW}}\right) \approx 10 \times 0.477 = 4.77\ \mathrm{dBm} \]
- 计算经过 \(20\ \mathrm{dB}\) 损耗后的输出功率（\(\mathrm{dBm}\) 直减法，最不易错）：\[P_{\mathrm{out}}(\mathrm{dBm}) = P_{\mathrm{in}}(\mathrm{dBm}) - \text{Loss}(\mathrm{dB}) = 4.77 - 20 = -15.23\ \mathrm{dBm} \]
- 若将结果还原为毫瓦 \(\mathrm{mW}\)（比值法反推）：\[\text{Loss} = 10 \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{in}}}{P_{\mathrm{out}}}\right) \implies 20 = 10 \log_{10}\left(\frac{3\ \mathrm{mW}}{P_{\mathrm{out}}}\right) \implies 10^2 = \frac{3}{P_{\mathrm{out}}} \]\[P_{\mathrm{out}} = \frac{3}{100} = 0.03\ \mathrm{mW} = 30\ \mathrm{\mu W} \]
习题 2-2：衰减系数与无中继最大光纤长度
【题目】 注入单模光纤的 LD 功率为 \(1\ \mathrm{mW}\)，在光纤输出端光探测器要求的最小光功率是 \(10\ \mathrm{nW}\)，在 \(1.3\ \mathrm{\mu m}\) 波段工作，光纤衰减系数是 \(0.4\ \mathrm{dB/km}\)，请问无需中继器的最大光纤长度是多少？
【标准解答】
已知 \(P_{\mathrm{in}} = 1\ \mathrm{mW} = 10^{-3}\ \mathrm{W}\)，\(P_{\mathrm{out}} = 10\ \mathrm{nW} = 10 \times 10^{-9}\ \mathrm{W} = 10^{-8}\ \mathrm{W}\)，衰减系数 \(\alpha = 0.4\ \mathrm{dB/km}\)。
- 根据衰减系数定义公式：\[\alpha = \frac{10}{L} \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{in}}}{P_{\mathrm{out}}}\right) \]
- 代入数据：\[0.4 = \frac{10}{L} \log_{10}\left(\frac{10^{-3}}{10^{-8}}\right) = \frac{10}{L} \log_{10}(10^5) = \frac{10 \times 5}{L} = \frac{50}{L} \]\[L = \frac{50}{0.4} = 120\ \mathrm{km} \]
习题 2-3：材料色散引起的脉冲展宽
【题目】 已知光纤的材料色散系数为 \(D_m = 22\ \mathrm{ps\cdot km^{-1}\cdot nm^{-1}}\)（在 \(1.55\ \mathrm{\mu m}\) 处）。请计算以下两种光源在传输 \(L=1\ \mathrm{km}\) 时引起的材料色散脉冲展宽量 \(\Delta\tau_m\)：
① 当光源采用工作波长为 \(1.55\ \mathrm{\mu m}\)、线宽 \(\Delta\lambda = 100\ \mathrm{nm}\) 的 LED 时。
② 当光源采用工作波长仍为 \(1.55\ \mathrm{\mu m}\)、但线宽仅为 \(2\ \mathrm{nm}\) 的 LD 时。
【标准解答】
材料色散引起的脉冲展宽公式为：\(\Delta\tau_m = D_m \cdot L \cdot \Delta\lambda\)
① 使用 LED 时（\(\Delta\lambda = 100\ \mathrm{nm}\)）：
② 使用 LD 时（\(\Delta\lambda = 2\ \mathrm{nm}\)）：
课上结论：同样的传输距离，LD 引起的展宽远小于 LED，因此 LD 更适合高速光纤通信。
习题 2-4：阶跃折射率光纤的模式色散展宽
【题目】 已知 \(n_1=1.486\)，\(n_2=1.472\)，仅考虑模式色散（多模色散），计算阶跃折射率光纤每 \(1\ \mathrm{km}\) 的脉冲展宽。
【标准解答】
已知长度 \(L = 1\ \mathrm{km} = 1000\ \mathrm{m}\)，真空光速 \(c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}\)。
- 采用课本常用近似公式（最快和最慢光线的时间差）：\[\Delta \tau \approx \frac{L}{c}(n_1 - n_2) = \frac{L \cdot \Delta n}{c} \]
- 代入数据计算：\[\Delta \tau = \frac{1000\ \mathrm{m}}{3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}} \times (1.486 - 1.472) = \frac{1000 \times 0.014}{3 \times 10^8} \approx 4.667 \times 10^{-8}\ \mathrm{s} = 46.7\ \mathrm{ns} \]
(注：老师说如果用严格公式 \(\Delta\tau = \frac{L}{c}\frac{n_1(n_1-n_2)}{n_2}\)，算出来是 \(47.01\ \mathrm{ns}\)，考试时两个数据和公式都可以用)
习题 2-5：由信号速率求单模光纤脉冲展宽（高频考点）
【题目】 考虑波长 \(1550\ \mathrm{nm}\) 处，用群速度色散 \(17\ \mathrm{ps/(nm\cdot km)}\) 的标准单模光纤传输 \(10\ \mathrm{Gbit/s}\) 的信号，计算经 \(100\ \mathrm{km}\) 传输后的脉冲展宽。如果改用色散值为 \(3.5\ \mathrm{ps/(nm\cdot km)}\) 的单模光纤传输，脉冲展宽又是多少？
【标准解答】
- 将电信号速率转化为波长展宽 \(\Delta\lambda\)：
\(10\ \mathrm{Gbit/s}\) 信号的等效频宽为 \(\Delta f = 10\ \mathrm{GHz} = 10 \times 10^9\ \mathrm{Hz}\)。
根据公式 \(|\Delta\lambda| = \frac{\lambda^2}{c}\Delta f\)，代入 \(\lambda = 1550\ \mathrm{nm} = 1.55 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}\)：\[\Delta\lambda = \frac{(1.55 \times 10^{-6})^2}{3 \times 10^8} \times 10 \times 10^9 \approx 0.08\ \mathrm{nm} \] - 计算标准单模光纤下的展宽（\(D = 17\)）：\[\Delta\tau = D \cdot L \cdot \Delta\lambda = 17\ \mathrm{ps/(nm\cdot km)} \times 100\ \mathrm{km} \times 0.08\ \mathrm{nm} = 136\ \mathrm{ps} \]
- 计算改用低色散光纤下的展宽（\(D' = 3.5\)）：\[\Delta\tau' = D' \cdot L \cdot \Delta\lambda = 3.5\ \mathrm{ps/(nm\cdot km)} \times 100\ \mathrm{km} \times 0.08\ \mathrm{nm} = 28\ \mathrm{ps} \]
习题 2-6：归零码(RZ)信号的最大比特速率
【题目】 结合 2-4 题，已知阶跃多模光纤传输后的脉冲展宽为 \(\Delta\tau = 46.7\ \mathrm{ns}\)，计算该光纤可传输归零脉冲信号的最大比特速率 \(R_b\)。
【标准解答】
归零码（RZ）信号为了留出归零间隔、防止严重的码间串扰，最大比特速率满足公式：
代入展宽数据：
(注：由于小数点四舍五入保留不同，算出 \(10.73\ \mathrm{Mbit/s}\) 也完全正确)
【第 3 章】
习题 3-2：AWG 的几何长度差与相位差计算
【题目】 一个阵列波导光栅包括 \(M\) 个石英波导，其相邻波导光程差是 \(\Delta L\)，在自由空间波长 \(1550\ \mathrm{nm}\) 处相邻波导间的相位差是 \(\pi/8\)。计算其长度差。并计算当自由空间波长变为 \(1548\ \mathrm{nm}\) 时的相位差。
【标准解答】
课上明确补充条件：石英玻璃折射率取 \(n = 1.48\)，基准波长 \(\lambda_0 = 1550\ \mathrm{nm}\)。
- 求几何长度差 \(\Delta l\)：
根据相位差公式 \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\Delta L\)，由题意知：\[\frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{1550\ \mathrm{nm}} \cdot \Delta L \implies \Delta L = \frac{1550}{16} = 96.875\ \mathrm{nm} \]由于光程差 \(\Delta L = n \cdot \Delta l\)，所以几何长度差为：\[\Delta l = \frac{\Delta L}{n} = \frac{96.875\ \mathrm{nm}}{1.48} \approx 65.456\ \mathrm{nm} \] - 求新波长 \(\lambda' = 1548\ \mathrm{nm}\) 处的相位差：
硬件固定的光程差 \(\Delta L = 96.875\ \mathrm{nm}\) 保持不变。\[\Delta\phi' = \frac{2\pi}{\lambda'}\cdot \Delta L = \frac{2\pi}{1548\ \mathrm{nm}} \times 96.875\ \mathrm{nm} \approx 0.12516\pi\ \mathrm{rad} \]
习题 3-3：EDFA 光放大器增益计算
【题目】 铒光纤的输入光功率是 \(200\ \mathrm{\mu W}\)，输出功率是 \(50\ \mathrm{mW}\)，EDFA 的增益是多少？
【标准解答】
统一单位：\(P_{\mathrm{in}} = 200\ \mathrm{\mu W} = 0.2\ \mathrm{mW}\)，\(P_{\mathrm{out}} = 50\ \mathrm{mW}\)。
- 计算倍数增益：\(G = \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}} = \frac{50\ \mathrm{mW}}{0.2\ \mathrm{mW}} = 250\) 倍
- 计算分贝（\(\mathrm{dB}\)）增益：\[G(\mathrm{dB}) = 10 \log_{10}(250) \approx 23.98\ \mathrm{dB} \]
习题 3-5：光放大器噪声指数计算
【题目】 假如输入信号功率为 \(400\ \mathrm{\mu W}\)，在 \(1\ \mathrm{nm}\) 带宽内的输入噪声功率是 \(35\ \mathrm{nW}\)，输出信号功率是 \(70\ \mathrm{mW}\)，在 \(1\ \mathrm{nm}\) 带宽内的输出噪声功率增大到 \(25\ \mathrm{\mu W}\)，计算光放大器的噪声指数。
【标准解答】
噪声指数 \(F = \frac{\mathrm{SNR}_{\mathrm{in}}}{\mathrm{SNR}_{\mathrm{out}}}\)。
- 输入信噪比：\(\mathrm{SNR}_{\mathrm{in}} = \frac{P_{\mathrm{si}}}{P_{\mathrm{ni}}} = \frac{400 \times 10^{-6}\ \mathrm{W}}{35 \times 10^{-9}\ \mathrm{W}} \approx 11428.57\)
- 输出信噪比：\(\mathrm{SNR}_{\mathrm{out}} = \frac{P_{\mathrm{so}}}{P_{\mathrm{no}}} = \frac{70 \times 10^{-3}\ \mathrm{W}}{25 \times 10^{-6}\ \mathrm{W}} = 2800\)
- 计算噪声指数：\(F = \frac{11428.57}{2800} \approx 4.0816\)
- 转换为分贝表示：\(F(\mathrm{dB}) = 10 \log_{10}(4.0816) \approx 6.10\ \mathrm{dB}\)
习题 3-6：一码内的光振荡周期数
【题目】 用脉冲信号对光强度调制，使用波长为 \(1.55\ \mathrm{\mu m}\) 的激光。当脉冲宽度为 \(1\ \mathrm{ns}\) 时，在“1”码时有多少个光振荡？
【标准解答】
已知 \(\lambda = 1.55\ \mathrm{\mu m} = 1.55 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}\)，脉宽 \(\Delta t = 1\ \mathrm{ns} = 10^{-9}\ \mathrm{s}\)，光速 \(c = 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}\)。
光的周期 \(T = \frac{\lambda}{c}\)，则在脉宽时间内包含的光震荡周期数 \(N\) 为：
(注：若按书上原题的 \(\lambda = 0.82\ \mathrm{\mu m}\) 计算，则 \(N = \frac{0.3}{0.82 \times 10^{-6}} \approx 365854\ \text{个}\))
【第 4 章】
习题 4-1：DFB 激光器布拉格波长
【题目】 DFB 激光器的波纹（光栅节距）\(\Lambda=0.22\ \mathrm{\mu m}\)，介质的有效折射率为 \(3.5\)，假定是一阶光栅，计算其布拉格波长。
【标准解答】
已知光栅节距 \(\Lambda = 0.22\ \mathrm{\mu m}\)，有效折射率 \(n = 3.5\)，光栅阶数 \(M = 1\)。
根据 DFB 激光器的布拉格方程公式：\(2n\Lambda = M\lambda_B\)
因为是一阶光栅（\(M=1\)），直接求得布拉格波长：
习题 4-3：PIN 光敏二极管的响应度与量子效率
【题目】 Si PIN 光敏二极管具有直径为 \(0.4\ \mathrm{mm}\) 的光接收面积，当波长 \(700\ \mathrm{nm}\) 的红光以强度 \(0.1\ \mathrm{mW/cm^{2}}\) 入射时，产生 \(56.6\ \mathrm{nA}\) 的光电流。请计算它的响应度 \(R\) 和量子效率 \(\eta\)。
【标准解答】
- 计算接收的总光功率 \(P_{\mathrm{in}}\)：
光敏面直径 \(d = 0.4\ \mathrm{mm} = 0.04\ \mathrm{cm}\)，半径 \(r = 0.02\ \mathrm{cm}\)。
接收面积 \(A = \pi r^2 = \pi \times (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\ \mathrm{cm^2}\)。
光强密度 \(I = 0.1\ \mathrm{mW/cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{W/cm^2}\)。
总输入光功率 \(P_{\mathrm{in}} = I \cdot A = 10^{-4} \times 4\pi \times 10^{-4} \approx 1.2566 \times 10^{-7}\ \mathrm{W}\)。 - 计算响应度 \(R\)：
已知光电流 \(I_p = 56.6\ \mathrm{nA} = 56.6 \times 10^{-9}\ \mathrm{A}\)。\[R = \frac{I_p}{P_{\mathrm{in}}} = \frac{56.6 \times 10^{-9}\ \mathrm{A}}{1.2566 \times 10^{-7}\ \mathrm{W}} \approx 0.45\ \mathrm{A/W} \] - 计算量子效率 \(\eta\)：
利用简写变换公式：\(R = \frac{\eta \cdot \lambda(\mathrm{\mu m})}{1.24} \implies 0.45 = \frac{\eta \times 0.70}{1.24}\)\[\eta = \frac{0.45 \times 1.24}{0.70} \approx 0.797 = 79.7\% \approx 80\% \]
习题 4-5：InGaAs APD 光电流与响应度计算
【题目】 InGaAs APD 没有倍增时（\(M=1\)），波长 \(1.55\ \mathrm{\mu m}\) 处的量子效率为 \(60\%\)。假如入射功率为 \(20\ \mathrm{nW}\)，求：
① 没有倍增时的初始光生电流。
② 当反偏工作且倍增系数是 \(M = 12\) 时输出的光生电流。
【标准解答】
已知 \(\lambda = 1.55\ \mathrm{\mu m}\)，初始量子效率 \(\eta = 0.60\)，入射功率 \(P_0 = 20\ \mathrm{nW}\)。
① 无倍增时的初始基础响应度 \(R_0\) 和电流 \(I_{p0}\)：
② 倍增系数 \(M=12\) 时的输出总电流 \(I_p\)：
(注：此时系统的总响应度 \(R = M \cdot R_0 = 12 \times 0.75 = 9\ \mathrm{A/W}\))
习题 4-6：Si APD 强反偏下的光电流
【题目】 Si APD 在 \(830\ \mathrm{nm}\) 没有倍增即 \(M=1\) 时的量子效率为 \(70\%\)，反偏工作倍增系数 \(M=100\)，当入射功率为 \(10\ \mathrm{nW}\) 时，求放大后的光电流是多少？
【标准解答】
已知波长 \(\lambda = 830\ \mathrm{nm} = 0.83\ \mathrm{\mu m}\)，初始 \(\eta = 0.70\)，\(M = 100\)，\(P_{\mathrm{in}} = 10\ \mathrm{nW}\)。
- 先求无倍增基础响应度 \(R_0\)：\[R_0 = \frac{\eta \cdot \lambda(\mathrm{\mu m})}{1.24} = \frac{0.70 \times 0.83}{1.24} \approx 0.4685\ \mathrm{A/W} \]
- 计算放大 \(M=100\) 倍后的总光电流 \(I_p\)：\[I_p = M \cdot R_0 \cdot P_{\mathrm{in}} = 100 \times 0.4685\ \mathrm{A/W} \times 10\ \mathrm{nW} = 468.5\ \mathrm{nA} \]
(注：课堂上老师四舍五入精简交代的结果是 \(467\ \mathrm{nA}\))
习题 4-7 & 4-8：热噪声受限 vs 散粒噪声受限下的信噪比（老师强调的必考易错点）
【题目】 接收机为了使误码率达到 \(10^{-9}\)，此时系统判决要求的 \(Q\) 值必须为 \(6\)。请分别计算以下两种极限情况下的系统信噪比（\(\mathrm{SNR}\)）：
① 受热噪声限制的接收机（不考虑散粒噪声）。
② 受散粒噪声限制的接收机（不考虑热噪声）。
【标准解答】
根据课本 65 页误码率与信噪比拓扑公式：
① 在受热噪声限制的系统里： “1”码和“0”码噪声均方电流相等（\(\sigma_1 = \sigma_0\)）。
② 在受散粒噪声限制的系统里： “0”码时无信号，因此散粒噪声为 0（\(\sigma_0 = 0\)）。
浙公网安备 33010602011771号