步步为零——巧妙的dp
步步为零
题目描述
你是否听说过这个游戏？游戏者在一张特殊的表格中按照规则跳动，使得跳到的数字经过加号和减号的连接，尽可能的逼近零。表格通常是如图 \(1.1\) 所示的形状，大小由中间一行的方格数 \(N\) 决定(图 \(1.1\) 就是一个 \(N=4\) 的例子)。
游戏者通常是从最下面的方格出发，按照如图 \(1.2\) 所示的规则在表格中跳动，当游戏者跳到最顶端的方格时，游戏结束。在游戏未结束前，游戏者不允许跳到表格外。
将游戏者跳到的 \(2\times N-1\) 个数字依次写下来，在每两个相邻的数字中间加上加号或减号，使得计算结果最接近零。
例如对于图 \(1.1\) 所示的表格，最好的跳动及计算方案是：
\(7+8+(-5)+(-2)-5-1-2=0\)
或\(7+10+(-7)-6+(-3)-3+2=0\)
或\(7+10+(-5)-10-5+1+2=0\)
或\(7+10+(-5)+(-2)-5-3-2=0\) 。
输入格式
输入文件的第一行是 \(N(N\leq 50)\)，接下来\(2\times N-1\)行给出了表格中每行的每个方格中的数字，第 \(i+1\) 行的第 \(j\) 个数字对应于表格中第 \(i\) 行的第 \(j\) 个数字。
文件中第二行的数字表示的是表格顶端的方格中的数字。文件中所有的数字都是整数，同一行相邻的两个数字间用空格符隔开
输出格式
输出文件只有一行，是你所求出的最接近零的计算结果的绝对值。
样例
样例输入
4
2
3 1
-3 5 7
6 10 -2 20
-7 -5 -8
10 8
7
样例输出
0
数据范围与提示
表格中的所有数字大于等于 \(-50\)，小于等于 \(50\) 。
思路
如果我们像样例输入中一样将每个数字存在数组里，会发现，在第 \(n\) 行以上的数能移动到上面和左上的位置，在第 \(n\) 行以下的数能移动到上面和右上的位置。
当我们输入的时候，我们可以只存储它的绝对值，毕竟既可以加又可以减，存负数的绝对值并不影响。
定义一个 \(dp[i][j][now]\) ，表示在第 \(i\) 行，第 \(j\) 列，\(now\) 值能否取到。
但是我们发现 \(now\) 值可能是正值也可能是负值，但是负数的下标是不被允许的。
所以我们在存储的时候可以把能取到的最大值 \(tot\) 求出来，将 \(now\) 加上 \(tot\)，便可以保证 \(now\) 值不会是负数，我们就从 \(-tot—tot\)，转移成了 \(0—2\times tot\)。
暴力代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100+50,INF=0x3f3f3f3f;
int n;
int ans=INF;
int pan[maxn][maxn];
void Dfs(int x,int y,int cnt){
if(x==1&&y==1){//到达顶端
int ans1=abs(cnt+pan[x][y]);
int ans2=abs(cnt-pan[x][y]);
int ans3=min(ans1,ans2);
ans=min(ans,abs(ans3));
return;
}
if(x>n){//在下半部分
Dfs(x-1,y,cnt+pan[x][y]);//向上走
Dfs(x-1,y,cnt-pan[x][y]);
Dfs(x-1,y+1,cnt+pan[x][y]);//向右上走
Dfs(x-1,y+1,cnt-pan[x][y]);
}else if(x<=n){//在上半部分
if(y==1){//考虑边界，在最左边
Dfs(x-1,y,cnt+pan[x][y]);//只能向上走
Dfs(x-1,y,cnt-pan[x][y]);
}else if(x==y){//在最右边
Dfs(x-1,y-1,cnt+pan[x][y]);//只能向左上走
Dfs(x-1,y-1,cnt-pan[x][y]);
}else{
Dfs(x-1,y-1,cnt+pan[x][y]);//向左上走
Dfs(x-1,y-1,cnt-pan[x][y]);
Dfs(x-1,y,cnt+pan[x][y]);//向上走
Dfs(x-1,y,cnt-pan[x][y]);
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
int pd=1;
int m=1;
for(int i=1;i<=2*n-1;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&pan[i][j]);
}
if(pd==1)m++;
else if(pd==0)m--;
if(m==n){
pd=0;
}
}
Dfs(2*n-1,1,0);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
暴力并不需要进行转换，只是普通的 \(Dfs\) 即可，但是时间效率很差，只能过几个点。
正解代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100+50,INF=0x3f3f3f3f;
int n;
int pan[maxn][maxn];
int tot;
int Max;
int ans=INF;
int dp[maxn][maxn][5050];//这里需要计算一下最大值来确定第三维的大小
bool Pd(int x){//没用的判断，肯定走不出去
if(x<0||x>2*tot)return false;
else return true;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
scanf("%d",&pan[i][j]);
pan[i][j]=abs(pan[i][j]);
Max=max(Max,pan[i][j]);
}
tot+=Max;
Max=0;
}
Max=0;
for(int i=n+1;i<=2*n-1;i++){
for(int j=1;j<=2*n-i;j++){
scanf("%d",&pan[i][j]);
pan[i][j]=abs(pan[i][j]);
Max=max(Max,pan[i][j]);
}
tot+=Max;
Max=0;
}
dp[2*n-1][1][tot]=1;//初始在最下面能取到
int now=0;
for(int i=2*n-1;i>=n+1;i--){//dp下半部分
for(int j=1;j<=2*n-i;j++){
for(int k=0;k<=2*tot;k++){
if(dp[i][j][k]){//k能取到，往上进行
now=k+pan[i][j];
if(Pd(now)){//没用的判断
dp[i-1][j][now]=1;
dp[i-1][j+1][now]=1;
}
now=k-pan[i][j];
if(Pd(now)){//没用的判断
dp[i-1][j][now]=1;
dp[i-1][j+1][now]=1;
}
}
}
}
}
for(int i=n;i>=1;i--){//dp上半部分
for(int j=1;j<=i;j++){
for(int k=0;k<=2*tot;k++){
if(dp[i][j][k]){//k能取到，往上进行
now=k+pan[i][j];
if(Pd(now)){//没用的判断
dp[i-1][j][now]=1;
dp[i-1][j-1][now]=1;
}
now=k-pan[i][j];
if(Pd(now)){//没用的判断
dp[i-1][j][now]=1;
dp[i-1][j-1][now]=1;
}
}
}
}
}
for(int i=0;i<=2*tot;i++){
if(dp[0][0][i]){
ans=min(ans,abs(i-tot));//别忘了减掉tot
}
if(dp[0][1][i]){//其实这两个值相同，取一个即可
ans=min(ans,abs(i-tot));
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
