Atcoder-ABC281-DEF题解
Atcoder Beginner Contest 281
D. Max Multiple (DP)
题意
在长度为 \(N\) 的序列 \(A\) 中，找到 \(K\) 个元素其和为 \(D\) 的倍数，找出满足要求最大的和，没有则返回 -1。
数据范围
\(1\leq K \leq N \leq 100\)
\(1\leq D \leq 100\)
\(0\leq a_i \leq 10^9\)
思路
- 观察数据范围 ，\(N,D,K\) 都是 100 以内，再尝试贪心选前 \(K\) 大来手摸一下，发现就是个经典的 DP 。
- 容易设计出状态 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个选 \(j\) 个元素和的模数为 \(k\) 的最大和，答案为 \(dp_{N,K,0}\) 。
- PS: 模数为 \(k\) 的这一维状态，灵感其实来源于一些数位 dp 的题目，但其实也算很常见的住哪个台设计了。
- 转移：\(dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-1][(k-a_i)\%D])\) ，当然 % D 以后要转成正数。
- 时间复杂度 \(O(N*K*D)\)
Solution
E. Least Elements (STL(multiset)、维护增量)
题意
给了长度为 \(N\) 的数列 \(A\) ，和整数 \(M,K\) 。
需要求出每个长度为 \(M\) 的连续子段中，前 \(K\) 小的元素和。
数据范围
\(1\leq K \leq M \leq N \leq 2\times 10^5\)
\(1\leq a_i \leq 10^9\)
思路
- 从 \(K=M\) 开始考虑
（其实是我最开始读错了以为就是个优先队列裸题）。- 这种情况下，就是个优先队列裸题，考虑维护增量的方式，一个优先队列就搞定了。
- 如果 \(K<M\) 呢？
- 实际上依然考虑维护增量，每次移动的时候，在子段中将插入的元素为 \(x\)，要被删除的元素为 \(y\) 。
- 因为我们只关心前 \(K\) 小个元素的数值，因此简单分类讨论一下，考虑先做删除后做插入。
- 删除 \(y\) 。
- \(y\) 不在前 \(K\) 小中，不做操作。
- \(y\) 在前 \(K\) 小中，和应该减去 \(y\) ，并且调整第 \(k\) 小的元素为比它大的一个元素。
- \(x\) 不在前 \(K\) 小中，不做操作。
- \(x\) 在前 \(K\) 小中，第 \(K\) 小应该向更小的方向移动一次。
- 将 \(x\) 插入。
- 大概流程入上，思路出来就可以借用 STL 了。使用
multiset<pair<int,int>>维护 {a[i], i} 即可。 - 实现会有一些小细节但是不多，根据实现方式，我为了方便将 \(K=M\) 的 case 直接特判掉了，防止 RE。
- 时间复杂度 \(O(N*logN)\)
Solution
F. Xor Minimization (Trie 上分治 or DP)
原题：CF1285D
