Softmax回归

1. softmax回归模型

  softmax回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的扩展(logistic回归解决的是二分类问题)。

  对于训练集\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \},有\{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) \}

  对于给定的测试输入\textstyle x,我们相拥假设函数针对每一个类别j估算出概率值\textstyle p(y=j | x)。也就是说,我们估计\textstyle x得每一种分类结果出现的概率。因此我们的假设函数将要输入一个\textstyle k维的向量来表示这\textstyle k个估计得概率值。假设函数\textstyle h_{\theta}(x)形式如下:


\begin{align}
h_\theta(x^{(i)}) =
\begin{bmatrix}
p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\
p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\
\vdots \\
p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }
\begin{bmatrix}
e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\
e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\
\vdots \\
e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\
\end{bmatrix}
\end{align}

  其中\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1}是模型的参数。\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } 这一项对概率分布进行归一化,舍得所有概率之和为1.

  softmax回归的代价函数:


\begin{align}
J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k}  1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]
\end{align}

  上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为:


\begin{align}
J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m   (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\
&= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right]
\end{align}

  可以看到,softmax代价函数与logistic代价函数在形式上非常类似,只是在softmax损失函数中对类标记的\textstyle k个可能值进行了累加。注意在softmax回归中将\textstyle x分类为\textstyle j的概率为:


p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }


\begin{align}
\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\}  - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right]  }
\end{align}
有了上面的偏导数公式以后,我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中,来最小化 \textstyle J(\theta)。 例如,在梯度下降法的标准实现中,每一次迭代需要进行如下更新: \textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)

 

2. 权重衰减

      在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数 \textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n),而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。


\begin{align}
J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}  \right]
              + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2
\end{align}

      我们通过添加一个权重衰减项 \textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2 来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的代价函数变为:

      有了这个权重衰减项以后 (\textstyle \lambda > 0),代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为\textstyle J(\theta)是凸函数,梯度 下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

      为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数 \textstyle J(\theta) 的导数,如下:


\begin{align}
\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\}  - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right]  } + \lambda \theta_j
\end{align}

      通过最小化 \textstyle J(\theta),我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

 

3. 模型选择

      如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?

      这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。

      如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。

      现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?

      在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

 

 

整理自学习资料:Softmax回归

posted @ 2014-07-24 11:41 七年之后 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏