[bzoj2510]弱题 (循环矩阵优化dp)

Description

有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有a_i个，并保证Σa_i = M。

每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）

现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

 

Input

第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。

第2行包含N个非负整数a_i，表示初始标号为i的球有a_i个。

 

Output

应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。

 

Sample Input

2 3 2
3 0

Sample Output

1.667
1.333

HINT

【样例说明】

第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。

第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。

 

【数据规模与约定】

对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；

对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；

对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；

对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；

对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。

 

比较显然的一道期望dp 但是循环矩阵这个东西是真没见过

设$f[i][j]$表示第i次操作后标号为i的球的期望个数

易得

$f[i][j]=(1-\frac{1}{m})*f[i-1][j]+\frac{1}{m}*f[i-1][j-1]$

特判$f[i][1]=(1-\frac{1}{m})*f[i-1][1]+\frac{1}{m}*f[i-1][n]$

即目前状态要么是上次抽到该标号-1的球转移来的，要么是上次抽到与该标号无关的球转移来的

但是K的范围十分不友好 考虑优化

可以想到矩乘，但是$n^3log^k$显然也不可接受

把方程中的系数放到矩阵里，可以看出它是一个循环矩阵

循环矩阵间的乘法具有封闭性，所以只需保留一行

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,K;
struct matrix
{
    double a[1005];
    matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
}dp,num;
void debug()
{
    puts(" ");
    for(int i=0;i<n;i++)
        cout<<num.a[i]<<' ';
    puts(" ");
}
matrix operator * (matrix x,matrix y)
{
    matrix res;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            res.a[(i+j)%n]+=x.a[i]*y.a[j];
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&dp.a[i]);
    num.a[0]=((double)(m-1))/m;num.a[1]=1.0/m;
    while(K)
    {
        //debug();
        if(K&1)dp=dp*num;
        num=num*num;
        K>>=1;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%.3lf\n",dp.a[i]);
    return 0;
}