矩阵乘法优化DP

本文讲一下一些基本的矩阵优化DP的方法技巧。

定义三个矩阵A,B,C,其中行和列分别为\(m\times n,n \times p,m\times p\)，（其中行是从上往下数的，列是从左往右数的）

\(C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\times B_{k,j}\)

矩阵乘法具有结合律，但没有交换律，可以乘方、求逆。

做矩阵优化DP的题目步骤：

\(1\quad\)把\(DP\)方程推出来（假如不能手推，可以先打\(10\)项左右的表，然后再写一个程序找每一项的系数，一般不会超过\(5\)项，否则矩阵太大了）

\(2\quad\)打横把系数写出来（注意\(i-1\)先写，接下来是\(i-2\)，以此类推，没有的项补\(0\)）

\(3\quad\)把矩阵补成项数$\times $项数，下面从第一个位置开始，对角线上写\(1\)（第一行忽略，其他写\(0\)）

\(4\quad\)把初始矩阵按下标从大到小写出来，一定要打竖

\(5\quad\)把题目要求的第\(n\)项的先减去矩阵的边长，然后进行快速幂，最后初始矩阵的第一个数就是答案

其实大家可以用横着写初始矩阵，竖着写系数的方法理解，但是为了减少常数，我们不可能两个矩阵开到一样大，所以我们适应计算机的理解，竖着写更方便，而且基本正确。

还可以用判断是否为\(0\)、改变转移顺序、人工\(mod\)的速度来卡常数。

对于一些不止一维的题目，可以把后面几维顺着写下去（像二维并查集一样），有常数项的可以写到矩阵里面去。

理论时间复杂度：\(O(\log_{2}({p^{2}\times n})\)其中\(n\)是要求的第n项答案，\(p\)是矩阵的大小。