基础算法3：二分

二分

正式开始之前先讨论一下，二分的本质并非单调性，而是一个区间可以不停地一分为二，使得分开后的左半边满足某种性质而右半边不满足。但最常用的还是单调性的二分。

整数二分

e.g.

               红                   绿
    |____________________||____________________|

① 找红色的右端点

mid = (l + r + 1) / 2
// 防止 l = r – 1 时出问题
// e.g. l = 6, r = 7, mid == 6 + 7 >> 1 == 6 == l, 进入死循环
// 等价于 l + (r – l + 1 >> 1)
if (check(mid)) //满足红色性质
    –true: [mid, r]
    –flase: [l, mid-1]

② 找绿色的左端点

mid = (l + r) / 2
// 等价于 l + (r – l >> 1)
if(check(mid)) // 满足绿色性质
    –true:  [1,mid]
    –flase: [mid + 1,r]

代码

题目来源：数的范围
时间复杂度O(nlogn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;


int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);

    int n, q; cin >> n >> q;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    for (int i = 0; i < q; i ++) 
    {
        int k; cin >> k;

        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)//找左端点，即从左往右第一个>=k的位置（相当于找绿色（>=k）的左端点）
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (a[mid] >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if (a[l] != k) cout << "-1 -1\n";
        else
        {
            cout << l << ' ';

            int l = 0, r = n - 1;
            while  (l < r)//找右端点，即从左往右第一个<=k的位置（相当于找红色（<=k）的右端点）
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (a[mid] <= k) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

小数二分

小数二分与整数二分相类似，此处以平方根为例。一般保留n位小数，则实际精度控制为1e(-n-2)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ld = long double;

int main()
{
    ld x; cin >> x;
    ld l = 0, r = max(x,(ld)1);
    while (r - l > 1e-8) //保留n位小数，此处为1e-(n+2)
    {
        ld mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    cout << l << '\n';
    return 0;
}

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2月2日补充

lower_bound和upper_bound的本质都是二分查找。于是就产生了二分会不会被lower_bound取代的疑惑。

经过sunglassman的提醒，二分不一定在数组内二分，而且二分的范围可能很大，超出了评测机内存能接受的内存，比如1e8的范围的二分

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2月4日补充

板子一定不要背错，是 while (l < r) 不是 l <= r，如果 l == r 时仍然进入循环就会进入死循环，因为在最后二分的退出条件就是l == r