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线性规划——由百度新大厦说开去

Posted on 2012-05-30 22:39  romi  阅读(750)  评论(2编辑  收藏  举报

题目:                                                                                                                                                 

继百度搜索框大厦之后,百度又于2012年初在深圳奠基了新的百度国际大厦,作为未来百度国际化的桥头堡。不同于百度在北京的搜索框大厦,新的百度国际大厦是一栋高楼,有非常多的楼层,让每个楼中的电梯都能到达所有楼层将是一个极为不明智的设计。因此,设计师给出了一个特别的设计——大厦一共有m个电梯,每个电梯只有两个按钮,(针对第i个电梯)两个按钮分别可以使电梯向上上升ui层或向下下降di层;百度国际大厦很高,你永远到不了顶层,也就是说电梯没有上限,但是,电梯不可以钻入地下,也就是说是有下限的。我们将每层楼用整数标记,为了体现IT公司的特质,我们以0作为地面这一层的标记。
如果你某天在百度国际大厦的0层,仅可以选择m个电梯中的一个乘坐(不可以中途换电梯),请你计算,你按电梯中的按钮n次后(每次两个按钮选一个按),可以到达的最低楼层数。

输入:输入的第一行包括两个整数,分别为n和m(1 ≤ n ≤ 1,000,000,1 ≤ m ≤ 2,000),表示按电梯按钮的次数和大厦中的电梯数量。接下去的m行,每行包括2个由空格分割的数字,分别表示了提供的m个电梯中的某一个的上行按钮上升一次的层数ui和下行按钮下降一次的层数di(1 ≤ ui,di ≤ 1000)

输出:输出一个正整数,表示选用m个电梯中的一个后,在电梯里按电梯中的按钮n次后(每次两个按钮选一个按),可以到达的最低楼层数。

样例输入

10 3
15 4
15 12
7 12

样例输出

13

提示按钮上的移动楼层数无法改变,比方说从8层向下9层是不可行的。

思路                                                                                                                                                         

这是百度之星资格赛的最后一题,由于本人只是做工程应用的,很少涉及算法上的问题,因此此题使用传统的方法,也就是最容易思考到的方法测试通过了,但是太耗时,度娘当然是不给过的,我自己也测试了下,当按下的次数特别大时,运算时间要十来秒。所以这里采用线性规划的方法可以简化算法,同时大大提高程序的效率。

传统方法                                                                                                                                                                                             

共m个电梯,按n次。首先是输入每个电梯上和下的楼层数。分别用up[m]和down[n]表示。则第i个电梯上升up[i]层,下降down[i]层。

然后一个电梯一个电梯的比较,在第i个电梯中,假设上升按了j次,则下降就按了n-j次,最后电梯所在楼层为up[i]*j-down[i]*(n-j),当然最后所在楼层数必须为正,即大于0,所以需要将该值<=0的舍去。

代码如下:

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <time.h>
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     long n;
 7     int m;
 8     scanf("%ld %d",&n,&m);
 9 
10     int up[m];
11     int down[m];
12     for(int i=0;i<m;i++)
13     {
14         scanf("%d %d",&up[i],&down[i]);
15     }
16 
17     long temp=0;
18     long value=1000000;
19     float time1=clock();
20     for(int i=0;i<m;i++)
21     {
22         for(long j=0;j<m+1;j++)
23         {
24             temp=j*up[i]-(n-j)*down[i];
25             if( (temp>0)&&(value>temp) )
26                value=temp;
27         }
28     }
29     float time2=clock();
30 
31     printf("%ld\n",value);
32     printf("%.2fms",time2-time1);
33     return 0;
34 }

正确的结果是可以得出的。clock()函数是拿来测试运算执行时间的,当n取的值非常大时,可以看到是相当耗时的。网上有一些代码是时间超过了限制,大概使用的是这种方法,因为这种方法最容易想到,把所有可能情况都拿出来进行比较。下面利用线性规划进行优化,从中可以看到数学的强大威力。

线性规划的方法                                                                                                                                    

先来做一下小小的分析。还是一个电梯一个电梯的比较,当在第i个电梯中时:

上升:up[i]    下降:down[i]

假设上升按了j次,则下降就按了(n-j)次,最后的楼层为W=up[i]*j-down[i]*(n-j)=(up[i]+down[i])*j-down[i]*n

要是W最小(W>0),通过该式可以看出,要求W>0时的最小值,就是要找出满足该最小值时的j的值。

当然W>0时的最小值,即j满足j>down[]*n/(up[i]+down[i]),只要求出了满足该式的j的最小值,带入W表达式中即可求出满足W>0的W的最小值。

有一个问题,倘若存在j使得W=0时,因为最后不能在第0层,所以j的值要取down[]*n/(up[i]+down[i])+1,这是为了防止除出来刚好为整数的情况。

采用此种方法的代码和上述常规方法不同的地方就在for循环的处理上,其他地方都一样,见下:

for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int k=n*down[i]/(up[i]+down[i]) + 1;
        temp=k*up[i]-down[i]*(n-k);
        if(value>temp)
            value=temp;
    }

这里只有一重循环,比之前面的两重循环要优化了很多,尤其是当n的值很大时效率就体现出来了。

 后记                                                                                                                                           

在网上还看到了其他好的代码,比如只声明两个变量,表示上升和下降的楼层,在循环中计算每个楼层时就是用这两个变量,这样就不需要定义两个一维数组(或二维数组也行,只不过二维数组是2列),从而节省了内存开销,值得借鉴。