【反悔贪心】AtCoder ABC376 E. Max × Sum

前言

反悔贪心是贪心算法的一种改进或扩展策略。贪心算法是指仅考虑每步最优，从而达到全局最优。在传统贪心算法的基础上，反悔贪心允许算法在一定条件下进行回溯或调整。简言之就是采取骑驴找马的策略，在别无选择的情况下，先选择当前最优解，当有更好的选择的时候，将之前最糟糕的选择替换为新的选择。

题目

https://atcoder.jp/contests/abc376/tasks/abc376_e

题意

输入一个正整数 \(T(1 \leq T \leq 2 \times 10^5)\)，代表共有 \(T\) 组测试用例。

对于每个测试用例，输入两个正整数 \(n, k(1 \leq k \leq n \leq 2 \times 10^5)\)，随后输入一个长为 \(n\) 的数组 \(a\)，再输入一个长为 \(n\) 的数组 \(b\)。

选出恰好 \(k\) 个下标，不妨记 \(mx\) 为 \(a\) 所选子数组中的最大值，\(sum\) 为 \(b\) 所选子数组全部元素之和。你要做的是，最小化 \(mx \times sum\) 的结果。

题解

将数组 \(a\) 从小到大排序（注意要对下标排序，因为数组 \(a, b\) 的位置是对应的），当从小到大遍历时，\(a\) 的元素都必定是子数组中的最大值，而之前已经遍历到的位置对最大值并不会产生任何影响，因此 \(a\) 之前所选的任何元素都是可选可不选。而 \(b\) 数组除了当前下标位置的元素必须选外，在当前下标之前的元素也都是可选可不选。想使得 \(b\) 的子数组元素和最小化，自然是选出当前下标位置之前最小的 \(k - 1\) 个元素。具体地，可以使用大根堆维护 \(b\) 的前 \(k\) 小元素。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

constexpr int N = 2e5 + 7;
int T, n, k;
int a[N], b[N], c[N];

void solve() {
	ll ans = 0LL, sum = 0LL;
	cin >> n >> k;
	iota(c, c + n, 0);
	for (int i = 0; i < n; ++ i) cin >> a[i];
	for (int i = 0; i < n; ++ i) cin >> b[i];
	sort(c, c + n, [&](const int &i, const int &j) {
		return a[i] != a[j] ? a[i] < a[j] : b[i] < b[j];	
	});
	priority_queue<int> pq;
	for (int i = 0; i < k; ++ i) {
		sum += b[c[i]];
		pq.push(b[c[i]]);	
	}
	ans = a[c[k - 1]] * sum;
	for (int i = k; i < n; ++ i) {
		if (pq.top() > b[c[i]]) {
			sum += b[c[i]] - pq.top();
			pq.pop(); 
			pq.emplace(b[c[i]]);
			ans = min(ans, sum * a[c[i]]);
		} else {
			ans = min(ans, (sum - pq.top() + b[c[i]]) * a[c[i]]);	
		}
	}
	cout << ans << '\n';
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin >> T;
	while (T --) {
		solve();
	}
	return 0;
}