【矩阵压缩】codeforces 1980 E. Permutation of Rows and Columns

题目链接

https://codeforces.com/problemset/problem/1980/E

题意

共输入\(T\)组测试用例，每组测试用例第一行输入两个整数\(n, m\)，分别代表输入的数据的行数和列数，其中\(1 \leq T \leq 10^4，n * m \leq 2 * 10^5\)。
接下来输入两个\(n\)行\(m\)列的矩阵\(a, b\)，对于每个矩阵中的元素\(x_{i,j}\)都是不同的，且满足：\(1 \leq x_{i,j} \leq n * m\)。
你有以下两种可以执行的操作：

1. 选择两个不同的行进行交换
2. 选择两个不同的列进行交换

你可以执行上述操作任意次，每次只能选择其中一个操作。问：能否通过上述操作将矩阵\(b\)变为矩阵\(a\)，若能，输出“yes”，否则，输出“no”。

题解

本质是考察线性代数的相等矩阵的知识。
矩阵相等的条件：

1. 两个矩阵为同型矩阵
2. 矩阵的元素完全相同

对于条件1，由于矩阵\(a, b\)均为\(n\)行\(m\)列的矩阵，故明显成立
对于条件2，只能使用选择两个不同的行/列进行交换，去尝试使之成立

对于初等行/列变换中的行/列交换，有一个非常重要的性质，就是进行行(列)交换后，行（列）内元素的相对位置不会发生变化。

基于上述性质，假设此时发生一次行交换，此时行内的相对顺序是不变的，只是每一列元素的相对位置会发生改变，但是发生改变的仅仅是列内元素的相对位置，原本处于同一列的元素依然会处于同一列。
再假设此时发生一次列交换，此时列内的相对顺序是不变的，只是每一行元素的相对位置会发生改变，但是发生改变的仅仅只是行内元素的相对位置，原本处于同一行的元素依然会处于同一行。

基于上述结论，我们只需要判断出矩阵\(a, b\)的每一行、列各自组成的集合，能否在某个顺序下完全相同即可。若能，则输出“YES”，否则，输出“NO”。

在编码实现上，有个问题就是若直接开一个2e5 * 2e5的矩阵，复杂度必然是不可接受的。
观察题目，已知\(n * m \leq 2e5\)，那么不妨直接进行矩阵压缩，将二维矩阵压缩为一维，下面讲解如何将二维矩阵压缩为一维数组：

下图是将\(n\)行\(m\)列的二维矩阵映射成长度为\(n * m\)的一维数组：

观察上图，易知原二维矩阵中，处于同一列的元素，在一维数组中是偏移了长度为\(m\)的长度。在二维矩阵中原本同处于第\(i(1 \leq i \leq n)\)行的元素，在一维数组中是从第\((i - 1) * m + 1\)到第\(i * m\)个元素。

因此，若想在一维数组中遍历二维矩阵的每一行，可以用如下代码：

for (int i = 0; i < n; ++ i) {//共n行
	for (int j = 0; j < m; ++ j) {//共m列
	    //i * m + j
	}
}

若想在一维数组中遍历二维矩阵的每一列，可以用如下代码：

for (int i = 0; i < m; ++ i) {//共m列
	for (int j = 0; j < n; ++ j) {//共n行
		//j * m + i
	}
}

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;

constexpr int N = 2e5 + 7;
int T, n, m;
int a[N], b[N], row[N], col[N];

void solve() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n * m; ++ i) {
		cin >> a[i];
		row[a[i]] = i / m;
		col[a[i]] = i % m;
	}
	for (int i = 0; i < n * m; ++ i) cin >> b[i];
	if (n == 1 || m == 1) {//行或列等于1时必相等 
		cout << "YES\n";
		return ;
	}
	//求同行 
	for (int i = 0; i < n; ++ i) {
		int r = row[b[i * m]];
		for (int j = 1; j < m; ++ j) {
			if (row[b[i * m + j]] != r) {
				cout << "NO\n";
				return ;
			}
		}
	}
	//求同列 
	for (int i = 0; i < m; ++ i) {
		int c = col[b[i]];
		for (int j = 1; j < n; ++ j) {
			if (col[b[j * m + i]] != c) {
				cout << "NO\n";
				return ;
			}
		}
	}
	cout << "YES\n";
}

int main() {
	IOS
	cin >> T;
	while (T --) {
		solve();
	}
	return 0;
}