04二分查找(浮点二分)

# 🔍 二分查找的“陷阱”：为什么我的平方根算法对小于1的数失效？

> **作者**：一位正在深入理解算法细节的开发者  
> **关键词**：二分查找、平方根、浮点数、算法边界、编程陷阱  
> **发布时间**：2025年8月28日

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在学习和实现算法的过程中，我们常常会遇到一些“看似正确，却在边界上出错”的问题。今天，我们就来剖析一个经典的例子：**用二分查找求平方根**。

你可能写过这样的代码：

```cpp
double l = 0, r = x;
while (r - l > 1e-8) {
    double mid = (l + r) / 2;
    if (mid * mid >= x) r = mid;
    else l = mid;
}

逻辑清晰，代码简洁，测试 x = 4、x = 9 都没问题。但当你输入 x = 0.25 时，结果却是：

输入：0.25
输出：0.25（错误！应为 0.5）

这是为什么？难道二分查找失效了？其实不是算法错了，而是我们忽略了一个关键的数学事实。

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🧩 问题重现：小于1的数“不生效”？

我们来手动分析一下 x = 0.25 的情况：

• 初始区间：l = 0, r = 0.25
• 真实平方根：sqrt(0.25) = 0.5

但 0.5 > 0.25，也就是说：真实解根本不在区间 [0, 0.25] 内！

而我们的二分查找是在这个“错误的区间”内进行的，无论怎么迭代，都无法跳出 [0, 0.25]，最终只能收敛到 0.25 本身。

❌ 根本问题：初始搜索区间选择错误

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📐 数学真相：平方根的大小关系

我们来观察一个有趣的数学规律：

x	sqrt(x)	比较结果
4	2	sqrt(x) < x
1	1	sqrt(x) = x
0.25	0.5	sqrt(x) > x

👉 结论：

• 当 x > 1 时，sqrt(x) < x
• 当 x = 1 时，sqrt(x) = x
• 当 0 < x < 1 时，sqrt(x) > x

所以，如果我们统一设置 r = x，那么当 x < 1 时，真实解就被排除在搜索区间之外了！

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✅ 正确解法：动态设置搜索区间

为了让二分查找适用于所有 x ≥ 0 的情况，我们必须确保搜索区间包含真实解。

✅ 解决方案：取 r = max(x, 1.0)

• 如果 x ≥ 1，sqrt(x) ≤ x → 区间 [0, x] 合理
• 如果 x < 1，sqrt(x) < 1 → 区间 [0, 1] 包含解

这样，无论 x 多大或多小，真实平方根都在 [0, max(x, 1)] 内。

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✅ 修正后的完整代码

#include <iostream>
#include <iomanip>  // 用于控制输出精度
using namespace std;

int main() {
    cout << fixed << setprecision(8);  // 输出保留8位小数

    double x;
    while (cin >> x) {
        if (x < 0) {
            cout << "负数没有实数平方根" << endl;
            continue;
        }
        if (x == 0) {
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }

        // 关键修正：右边界取 max(x, 1.0)
        double l = 0, r = (x >= 1) ? x : 1;

        // 二分查找
        while (r - l > 1e-8) {
            double mid = (l + r) / 2;
            if (mid * mid >= x)
                r = mid;
            else
                l = mid;
        }

        cout << "sqrt(" << x << ") ≈ " << l << endl;
    }
    return 0;
}

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🧪 测试验证

输入	输出	是否正确
4	2.00000000	✅
0.25	0.50000000	✅
0.01	0.10000000	✅
2	1.41421356	✅

全部通过！

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🎯 二分查找的核心思想回顾

这个“小问题”其实揭示了二分查找的几个关键原则：

1. 搜索空间必须包含解
   → 无论算法多精妙，如果初始区间错了，结果一定错。

2. 边界条件决定成败
   → x = 0、x = 1、x < 1 都是需要单独考虑的边界。

3. 单调性是二分的前提
   → f(mid) = mid^2 是单调递增的，所以可以二分。

4. 浮点数二分需控制精度
   → 用 1e-8 作为收敛条件，避免无限循环。

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💡 更进一步：牛顿迭代法（更快！）

虽然二分查找稳定可靠，但收敛速度是线性的（O(log(1/ε))）。
更高效的方法是牛顿迭代法：

double sqrt_newton(double x) {
    if (x == 0) return 0;
    double r = x;
    while (abs(r * r - x) > 1e-8) {
        r = (r + x / r) / 2;
    }
    return r;
}

牛顿法收敛速度是平方级的，更快！

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✅ 总结

问题	解决方案
小于1的数失效	改 r = x 为 r = max(x, 1.0)
负数输入	增加判断和提示
精度不足	使用 1e-8 并控制输出格式
收敛慢	可改用牛顿迭代法

编程不是写完就对，而是不断理解边界、修正假设的过程。

这个小小的“平方根”问题，教会我们：

算法的正确性，不仅取决于逻辑，更取决于对数学本质的理解。

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📚 延伸阅读

• 《算法导论》—— 二分查找与数值计算
• LeetCode 69. Sqrt(x)
• 牛顿法求根：从几何直观理解迭代收敛