第一章 拓扑空间与连续映射

好的，我将严格按照尤承业《基础拓扑学讲义》第一章第一节的内容，为每个概念、命题和例子提供完整的证明，并用更形象的方式进行讲解。

🧭 拓扑空间的定义与公理

📚 定义1.1（拓扑空间）

设 \( X \) 是一个非空集合，\( τ ⊆ 2^X \) 是 \( X \) 的一个子集族，如果满足：

1. 全集与空集：\( X ∈ τ \)，\( ∅ ∈ τ \)
2. 任意并：若 \( U_α ∈ τ \)（\( α ∈ Λ \)），则 \( \bigcup_{α∈Λ} U_α ∈ τ \)
3. 有限交：若 \( U_1, U_2, ..., U_n ∈ τ \)，则 \( \bigcap_{i=1}^n U_i ∈ τ \)

则称 \( τ \) 是 \( X \) 的一个拓扑，称 \( (X, τ) \) 为一个拓扑空间，\( τ \) 中的成员称为这个拓扑空间的开集。

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🔍 拓扑的例子与完整证明

✅ 例1：平凡拓扑

定义：( τ_{\text{平凡}} = {X, ∅} )

证明：

• (1) \( X ∈ τ \)，\( ∅ ∈ τ \) ✅
• (2) 任意并：只有四种情况：
  • \( ∅ ∪ ∅ = ∅ ∈ τ \) ✅
  • \( ∅ ∪ X = X ∈ τ \) ✅
  • \( X ∪ ∅ = X ∈ τ \) ✅
  • \( X ∪ X = X ∈ τ \) ✅
• (3) 有限交：只有四种情况：
  • \( ∅ ∩ ∅ = ∅ ∈ τ \) ✅
  • \( ∅ ∩ X = ∅ ∈ τ \) ✅
  • \( X ∩ ∅ = ∅ ∈ τ \) ✅
  • \( X ∩ X = X ∈ τ \) ✅

形象理解：这是最"粗糙"的拓扑，只有整个空间和空集是开集。

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✅ 例2：离散拓扑

定义：( τ_{\text{离散}} = 2^X )（所有子集都是开集）

证明：

• (1) \( X ∈ 2^X \)，\( ∅ ∈ 2^X \) ✅
• (2) 任意多个子集的并集仍是 \( X \) 的子集 ✅
• (3) 有限多个子集的交集仍是 \( X \) 的子集 ✅

形象理解：这是最"精细"的拓扑，每个点自己都是开集。

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✅ 例3：欧氏拓扑（\( E^1 \)）

定义：在 \( R \) 上，( τ_E = {U ⊆ R | U 是若干个开区间的并集} )

证明：

• (1) \( R = \bigcup_{n=1}^∞ (-n, n) ∈ τ_E \)，\( ∅ ∈ τ_E \)（零个开区间的并）✅
• (2) 任意并：若干个"开区间的并集"的并集仍是开区间的并集 ✅
• (3) 有限交：设 \( U = \bigcup_{α} I_α \)，\( V = \bigcup_{β} J_β \)，则
  \[U ∩ V = \bigcup_{α,β} (I_α ∩ J_β) \]
  开区间的交仍是开区间（或空集），所以 \( U ∩ V \) 是开区间的并集 ✅

形象理解：这就是我们熟悉的实数轴上的开集。

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✅ 例4：余有限拓扑（\( τ_f \)）

定义：( τ_f = {U ⊆ X | U = ∅ 或 X∖U 是有限集} )

证明：

• (1) \( X ∈ τ_f \)（因 \( X∖X = ∅ \) 有限），\( ∅ ∈ τ_f \) ✅
• (2) 任意并：设 \( U_α ∈ τ_f \)
  • 如果所有 \( U_α = ∅ \)，则并集为 \( ∅ ∈ τ_f \) ✅
  • 否则，设 \( U = \bigcup U_α \)，则
    \[X∖U = X∖\bigcup U_α = \bigcap (X∖U_α) \]
    每个 \( X∖U_α \) 都是有限集（因为至少有一个 \( U_α ≠ ∅ \)），有限集的任意交仍是有限集 ✅
• (3) 有限交：设 \( U_1, ..., U_n ∈ τ_f \)
  • 如果某个 \( U_i = ∅ \)，则交为 \( ∅ ∈ τ_f \) ✅
  • 否则，设 \( U = \bigcap_{i=1}^n U_i \)，则
    \[X∖U = X∖\bigcap U_i = \bigcup (X∖U_i) \]
    每个 \( X∖U_i \) 是有限集，有限个有限集的并仍是有限集 ✅

形象理解：开集就是"几乎整个空间"，只去掉有限个点。

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✅ 例5：余可数拓扑（\( τ_c \)）

定义：( τ_c = {U ⊆ X | U = ∅ 或 X∖U 是可数集} )

证明：（与余有限拓扑完全类似）

• (1) \( X ∈ τ_c \)，\( ∅ ∈ τ_c \) ✅
• (2) 任意并：可数集的任意交仍是可数集 ✅
• (3) 有限交：有限个可数集的并仍是可数集 ✅

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📐 度量拓扑的完整理论

🔁 从度量空间到拓扑空间

定义：设 \( (X, d) \) 是度量空间，定义：

• 球形邻域：\( B(x_0, ε) = {x ∈ X | d(x_0, x) < ε} \)
• 度量拓扑：( τ_d = {U ⊆ X | U 是若干个球形邻域的并集} )

关键引理：任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集。

证明：
设 \( U = B(x_1, ε_1) ∩ B(x_2, ε_2) \)，要证 \( U ∈ τ_d \)。

∀ \( x ∈ U \)，有 \( d(x, x_1) < ε_1 \)，\( d(x, x_2) < ε_2 \)

取 \( δ_x = \min{ε_1 - d(x, x_1), ε_2 - d(x, x_2)} > 0 \)

断言：\( B(x, δ_x) ⊆ U \)

证明断言：∀ \( y ∈ B(x, δ_x) \)，有 \( d(x, y) < δ_x \)

• \( d(y, x_1) ≤ d(y, x) + d(x, x_1) < δ_x + d(x, x_1) ≤ ε_1 \)
• \( d(y, x_2) ≤ d(y, x) + d(x, x_2) < δ_x + d(x, x_2) ≤ ε_2 \)

所以 \( y ∈ B(x_1, ε_1) ∩ B(x_2, ε_2) = U \) ✅

于是 \( U = \bigcup_{x ∈ U} B(x, δ_x) ∈ τ_d \) ✅

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命题1.1：\( τ_d \) 是 \( X \) 上的拓扑。

证明：

• (1) \( X = \bigcup_{x ∈ X} B(x, 1) ∈ τ_d \)，\( ∅ ∈ τ_d \)（零个球形邻域的并）✅
• (2) 任意并：显然成立 ✅
• (3) 有限交：只需证两个开集的交是开集

设 \( U, V ∈ τ_d \)，\( U = \bigcup_{α} B_α \)，\( V = \bigcup_{β} B'_β \)，则

\[U ∩ V = \left(\bigcup_{α} B_α\right) ∩ \left(\bigcup_{β} B'_β\right) = \bigcup_{α,β} (B_α ∩ B'_β) \]

由引理，每个 \( B_α ∩ B'_β ∈ τ_d \)，所以 \( U ∩ V ∈ τ_d \) ✅

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🧩 拓扑基本概念的完整理论

1. 闭集理论

定义1.2：\( A ⊆ X \) 是闭集 ⇔ \( A^c \) 是开集。

命题1.2：拓扑空间的闭集满足：

• (1) \( X \) 与 \( ∅ \) 都是闭集
• (2) 任意多个闭集的交集是闭集
• (3) 有限个闭集的并集是闭集

证明：

• (1) \( X^c = ∅ \) 是开集，\( ∅^c = X \) 是开集 ✅
• (2) 设 \( F_α \) 是闭集，则 \( F_α^c \) 是开集
  \[\left(\bigcap_{α} F_α\right)^c = \bigcup_{α} F_α^c \text{ 是开集} ⇒ \bigcap_{α} F_α \text{ 是闭集} ✅ \]

• (3) 设 \( F_1, ..., F_n \) 是闭集
  \[\left(\bigcup_{i=1}^n F_i\right)^c = \bigcap_{i=1}^n F_i^c \text{ 是开集} ⇒ \bigcup_{i=1}^n F_i \text{ 是闭集} ✅ \]

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2. 邻域、内点、内部理论

定义1.3：

• \( x \) 是 \( A \) 的内点 ⇔ ∃ 开集 \( U \)，使得 \( x ∈ U ⊆ A \)
• \( A \) 是 \( x \) 的邻域 ⇔ \( x \) 是 \( A \) 的内点
• \( A \) 的内部 ( \overset{\circ}{A} = {x ∈ A | x 是 A 的内点} )

命题1.3：

• (1) 若 \( A ⊆ B \)，则 \( \overset{\circ}{A} ⊆ \overset{\circ}{B} \)
• (2) \( \overset{\circ}{A} \) 是包含在 \( A \) 中的所有开集的并集，因此是包含在 \( A \) 中的最大开集
• (3) \( A \) 是开集 ⇔ \( \overset{\circ}{A} = A \)
• (4) \( (A ∩ B)^∘ = \overset{\circ}{A} ∩ \overset{\circ}{B} \)
• (5) \( (A ∪ B)^∘ ⊇ \overset{\circ}{A} ∪ \overset{\circ}{B} \)

证明：

• (1) 设 \( x ∈ \overset{\circ}{A} \)，则 ∃ 开集 \( U \)，\( x ∈ U ⊆ A ⊆ B \)，所以 \( x ∈ \overset{\circ}{B} \) ✅

• (2) 记 ( \mathscr{U} = {U ⊆ A | U 是开集} )

  • 首先证 \( \bigcup_{U ∈ \mathscr{U}} U ⊆ \overset{\circ}{A} \)：∀ \( U ∈ \mathscr{U} \)，∀ \( x ∈ U \)，有 \( x ∈ U ⊆ A \)，所以 \( x ∈ \overset{\circ}{A} \)
  • 再证 \( \overset{\circ}{A} ⊆ \bigcup_{U ∈ \mathscr{U}} U \)：∀ \( x ∈ \overset{\circ}{A} \)，∃ 开集 \( U_x \)，\( x ∈ U_x ⊆ A \)，所以 \( U_x ∈ \mathscr{U} \)，\( x ∈ \bigcup \mathscr{U} \)

  因此 \( \overset{\circ}{A} = \bigcup \mathscr{U} \) 是开集，且是最大的 ✅

• (3)

  • (⇒) 若 \( A \) 是开集，则 \( A ∈ \mathscr{U} \)，由(2)知 \( \overset{\circ}{A} = A \)
  • (⇐) 若 \( \overset{\circ}{A} = A \)，由(2)知 \( A \) 是开集 ✅

• (4)

  • \( ⊆ \)：由(1)，\( (A ∩ B)^∘ ⊆ \overset{\circ}{A} \)，\( (A ∩ B)^∘ ⊆ \overset{\circ}{B} \)，所以 \( ⊆ \overset{\circ}{A} ∩ \overset{\circ}{B} \)
  • \( ⊇ \)：设 \( x ∈ \overset{\circ}{A} ∩ \overset{\circ}{B} \)，则 ∃ 开集 \( U, V \)，\( x ∈ U ⊆ A \)，\( x ∈ V ⊆ B \)
    于是 \( x ∈ U ∩ V ⊆ A ∩ B \)，且 \( U ∩ V \) 是开集，所以 \( x ∈ (A ∩ B)^∘ \) ✅

• (5) 由(1)，\( \overset{\circ}{A} ⊆ (A ∪ B)^∘ \)，\( \overset{\circ}{B} ⊆ (A ∪ B)^∘ \)，所以并集也包含在内 ✅

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3. 聚点与闭包理论

定义1.4：

• \( x \) 是 \( A \) 的聚点 ⇔ \( x \) 的每个邻域都含有 \( A∖{x} \) 中的点
• \( A \) 的导集 ( A' = {x ∈ X | x 是 A 的聚点} )
• \( A \) 的闭包 \( \overline{A} = A ∪ A' \)

等价描述：\( x ∈ \overline{A} ⇔ x \) 的任一邻域与 \( A \) 有交点

命题1.4：若 \( A \) 与 \( B \) 互为余集，则 \( \overline{A} \) 与 \( \overset{\circ}{B} \) 互为余集。

证明：

\[\begin{aligned} x ∈ \overline{A} &⇔ x 的任一邻域与 A 有交点 \\ &⇔ x 没有包含在 B 中的邻域 \\ &⇔ x 不是 B 的内点 \\ &⇔ x ∈ X∖\overset{\circ}{B} \end{aligned} \]

所以 \( \overline{A} = ( \overset{\circ}{B} )^c \) ✅

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命题1.5：

• (1) 若 \( A ⊆ B \)，则 \( \overline{A} ⊆ \overline{B} \)
• (2) \( \overline{A} \) 是所有包含 \( A \) 的闭集的交集，所以是包含 \( A \) 的最小的闭集
• (3) \( A \) 是闭集 ⇔ \( \overline{A} = A \)
• (4) \( \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B} \)
• (5) \( \overline{A ∩ B} ⊆ \overline{A} ∩ \overline{B} \)

证明：

• (1) 设 \( x ∈ \overline{A} \)，则 \( x \) 的任一邻域与 \( A \) 有交 ⇒ 与 \( B \) 有交，所以 \( x ∈ \overline{B} \) ✅
• (2) 记 ( \mathscr{F} = {F ⊆ X | F 是闭集且 A ⊆ F} )
  • 首先证 \( \overline{A} ⊆ \bigcap_{F ∈ \mathscr{F}} F \)：∀ \( F ∈ \mathscr{F} \)，有 \( A ⊆ F \)，由(1)得 \( \overline{A} ⊆ \overline{F} = F \)（因 \( F \) 闭）
  • 再证 \( \bigcap_{F ∈ \mathscr{F}} F ⊆ \overline{A} \)：由命题1.4，\( \overline{A} \) 是闭集，且 \( A ⊆ \overline{A} \)，所以 \( \overline{A} ∈ \mathscr{F} \)，故交集包含在 \( \overline{A} \) 中 ✅
• (3)
  • (⇒) 若 \( A \) 闭，则 \( A ∈ \mathscr{F} \)，由(2)得 \( \overline{A} = A \)
  • (⇐) 若 \( \overline{A} = A \)，由命题1.4知 \( A \) 是闭集 ✅
• (4)
  • \( ⊆ \)：由(1)，\( \overline{A} ⊆ \overline{A ∪ B} \)，\( \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B} \)，所以 \( \overline{A} ∪ \overline{B} ⊆ \overline{A ∪ B} \)
  • \( ⊇ \)：\( \overline{A} ∪ \overline{B} \) 是闭集（有限并），且 \( A ∪ B ⊆ \overline{A} ∪ \overline{B} \)，由(2)得 \( \overline{A ∪ B} ⊆ \overline{A} ∪ \overline{B} \) ✅
• (5) 由(1)，\( \overline{A ∩ B} ⊆ \overline{A} \)，\( \overline{A ∩ B} ⊆ \overline{B} \)，所以包含在交集中 ✅

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🧱 子空间拓扑的完整理论

定义1.5：设 \( A ⊆ X \)，定义 \( A \) 上的子空间拓扑：

\[τ_A = \{U ∩ A | U ∈ τ\} \]

命题：\( τ_A \) 是 \( A \) 上的拓扑。

证明：

• (1) \( A = X ∩ A ∈ τ_A \)，\( ∅ = ∅ ∩ A ∈ τ_A \) ✅
• (2) 设 \( V_α ∈ τ_A \)，则 \( V_α = U_α ∩ A \)，\( U_α ∈ τ \)
  \[\bigcup V_α = \bigcup (U_α ∩ A) = \left(\bigcup U_α\right) ∩ A ∈ τ_A ✅ \]

• (3) 设 \( V_1, ..., V_n ∈ τ_A \)，则 \( V_i = U_i ∩ A \)，\( U_i ∈ τ \)
  \[\bigcap V_i = \bigcap (U_i ∩ A) = \left(\bigcap U_i\right) ∩ A ∈ τ_A ✅ \]

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命题1.6：设 \( C ⊆ A ⊆ X \)，则
\( C \) 是 \( A \) 的闭集 ⇔ \( C = A ∩ F \)，其中 \( F \) 是 \( X \) 的闭集。

证明：

\[\begin{aligned} C \text{ 是 } A \text{ 的闭集} &⇔ A∖C \text{ 是 } A \text{ 的开集} \\ &⇔ ∃ U ∈ τ, A∖C = U ∩ A \\ &⇔ ∃ U ∈ τ, C = A∖(U ∩ A) = A ∩ (X∖U) \\ &⇔ C = A ∩ F, \text{ 其中 } F = X∖U \text{ 是 } X \text{ 的闭集} ✅ \end{aligned} \]

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命题1.7：

• (1) 若 \( B \) 是 \( X \) 的开（闭）集，则 \( B \) 也是 \( A \) 的开（闭）集
• (2) 若 \( A \) 是 \( X \) 的开（闭）集，\( B \) 是 \( A \) 的开（闭）集，则 \( B \) 也是 \( X \) 的开（闭）集

证明：

• (1)
  • 开集：\( B = B ∩ A ∈ τ_A \) ✅
  • 闭集：\( B = A ∩ B \)，用命题1.6 ✅
• (2)
  • 开集：\( B = U ∩ A \)，\( U ∈ τ \)，若 \( A \) 是 \( X \) 的开集，则 \( B \) 是 \( X \) 的开集 ✅
  • 闭集：\( B = A ∩ F \)，\( F \) 是 \( X \) 的闭集，若 \( A \) 是 \( X \) 的闭集，则 \( B \) 是 \( X \) 的闭集 ✅

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🎯 形象总结

概念	数学定义	形象理解
拓扑空间	满足三条公理的开集族	规定了"哪些集合算开"的规则系统
开集	\( U ∈ τ \)	可以"自由进出"的区域
闭集	开集的补集	包含所有"边界点"的区域
内部 \( \overset{\circ}{A} \)	所有内点的集合	去掉边界后剩下的"纯粹内部"
闭包 \( \overline{A} \)	\( A \) 加上所有聚点	集合加上它的"吸附边界"
子空间	\( τ_A = {U ∩ A} \)	大空间中切出一块，继承开集定义

几何比喻：

• 拓扑空间 ≈ 一块弹性极好的橡皮泥
• 开集 ≈ 橡皮泥上可以自由按压而不碰到边界的区域
• 闭集 ≈ 包含边缘的橡皮泥块
• 内部 ≈ 橡皮泥块挖掉表皮后的芯
• 闭包 ≈ 橡皮泥块加上它吸附的周围碎屑
• 子空间 ≈ 从大橡皮泥上切下的小块，保持原有的"弹性规则"

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这样，我们就完成了第一章第一节所有概念、命题和例子的完整证明与形象讲解。每个证明都严格遵循教材逻辑，确保数学的严谨性。