带权 dilworth

有传递闭包 DAG \(G\)，求最大带权独立集 \(MIS(G)\)。

dilworth: 传递闭包图的最大独立集等于最小链覆盖。证明

不难发现对于一个权值为 \(w\) 的点，可以拆成 \(w\) 个等价的点（之间两两无边），这不会影响独立集（最优方案如果不全选某类点则改成全选更优）。

从而可以用二分图多重匹配求 \(G\) 的最大带权独立集。

构造也和正常的是一样的：先求拆点后图 \(B\) 的最小带权点覆盖（用最小割，左侧 \(S\) 表示不选，右侧 \(T\) 表示不选，边两侧不能同时不选转成左向右连大权边），再取补转成最大带权独立集。\(u \in MIS(G) \iff u_l \in MIS(B) \land u_r \in MIS(B)\) （证明：鸽巢原理），然后就做完了。