[清华集训2016] 你的生命已如风中残烛

简化题意

将 \(w_i\) 全部减 \(1\)，则问题变成一个序列，其中给定有 \(n\) 个正数 \(w_i\)，其余都是 \(-1\)，和是 \(0\)，前缀和均非负，求排列方案数。

做法

如果和是 \(1\)，且要求前缀和全为正数，有结论：每个排列的所有循环移位只有 \(1\) 种合法，所以计数圆排列数即可，《具体数学》7.5 章有详细证明，其实就是每次必须要取最后一个最小值位置作为起点，使得其他最小值位置跨过序列结尾，前缀和为 \(1\)，否则如果有两个相等最小值而取前一个作为起点，第二个最小值位置前缀和是 \(0\)。

本题前缀和可以为 \(0\)，因此每个最小值都能取，分析失效。

证 Catalan 数时，可以在开头放个 \(1\)，但本题中有多种不等价的正数，这种做法是无效的。

在结尾放个 \(-1\)，问题变成前 \(m\) 个元素前缀和非负，且总和为 \(-1\)。

类似地，所有循环移位中现在只能取第一个最小值位置作为起点了，否则跨过序列结尾，之前的最小值位置前缀和会变成 \(-1\)。

\(m+1\) 个点共有 \(m!\) 种圆排列，而序列中有 \(m - n + 1\) 个等价的 \(-1\) 只能取额外放置的 \(1\) 个放在结尾（结尾一定是 \(-1\)），因此答案 \(\displaystyle\frac{m!}{m - n + 1}\)。

P.S. 对于第一个结论，如果和为 \(s\)，那么有 \(s\) 种循环移位。

#include <cstdio>

int main() {
  int n, m = 0, s = 1, x;
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    scanf("%d", &x);
    m += x;
  }
  for (int i = 2, li = m - n; i <= li; ++i)
    s = 1LL * s * i % 998244353;
  for (int i = m - n + 2; i <= m; ++i)
    s = 1LL * s * i % 998244353;
  printf("%d\n", s);
  return 0;
}