整体二分笔记

整体二分解决的最基本的问题是动态区间\(k\)小。

问题

对于\(n\)个元素的序列，支持两种操作，共\(m\)次：

1. Q l r k，询问\([l, r]\)区间内的第\(k\)小值
2. C p x，将\(p\)位置修改成\(x\)

\(n, m \leq 10^5\)

解决方法

对于单个询问可以二分答案，但是对于\(m\)个询问复杂度太高，不能接受。

考虑如果有\(n\)个数进行排序，可以选定一个\(mid\)值，然后把比\(mid\)值小的元素放到左边，比\(mid\)值大的元素放在右边，然后递归处理。

在此基础上解决询问。把修改和询问放进一个数组去处理。首先读入原序列，全部当成修改来处理。如果后面还有修改，就把原来的值减掉，加上新值。具体流程见下

流程：

1. 如果当前\(l = r\)，那么直接把当前边界内的询问的答案全部设为\(l\)即可。
2. 设置\(mid = {(l + r) \over 2}\)遍历当前边界内的询问和修改
3. 对于修改，如果修改的值小于等于\(mid\)，则在树状数组内给修改的位置+1，扔进左边，否则直接扔进右边。
4. 对于询问，在树状数组内查询\([l, r]\)区间的和 （查到的是\([l, r]\)区间内比\(mid\)小的元素的个数，或者说是\(mid\)的排名），设为\(rnk\)
   如果\(rnk \leq k\)，说明小于等于\(mid\)的元素不够\(k\)个，答案一定大于\(mid\)，扔到右边，并把\(k\)减去得到的值 （相当于在大于\(mid\)的区间里找第\(k-rnk\)个）
   否则小于等于\(mid\)的元素多于\(k\)个，答案小于等于\(mid\)，扔到左边
5. 最后清空树状数组，分治处理左边和右边的元素即可。

代码：
操作type为0是修改，l表示位置，r表示是删除原来的还是改成新的元素，k是值。
type为1是查询，l, r是查询区间，k表示要查询的序号。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100005, QUE = 300005;
const bool Query = 1, Edit = 0;
template<typename T> inline void in(T &x){ //Read Positive Integer.
	register char ch; x = 0;
	while(isspace(ch = getchar()));
	do x = x * 10 + ch - '0'; while(isdigit(ch = getchar()));
}
inline char gvc(){
	register char ch;
	while(isspace(ch = getchar()));
	return ch;
}
struct op{
	bool type;
	int l, r, k, id;
	op(bool Type, int L, int R, int K, int Id): type(Type), l(L), r(R), k(K), id(Id){}
	op(){type = 0; l = r = k = id = 0;}
}q[QUE], q1[QUE], q2[QUE]; //q1, q2用来临时存左边，右边的操作
int a[N], ans[N], tr[N];
int n, m, maxx;
//树状数组操作
void add(int p, int x){for(int i=p; i<=n; i+=i&(-i)) tr[i] += x;}
int ask(int p){
	int ans = 0;
	for(int i=p; i; i-=i&(-i)) ans += tr[i];
	return ans;
}

void solve(int l, int r, int ql, int qr){ //l, r是答案区间，ql, qr表示待解决的操作
	if(l == r){
		for(int i=ql; i<=qr; i++)
			if(q[i].type == Query) ans[q[i].id] = l;
		return ;
	}
	else if(ql > qr) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	int l1 = 0, l2 = 0;
	for(int i=ql; i<=qr; i++){
		if(q[i].type == Edit){
			if(q[i].k <= mid)
				add(q[i].l, q[i].r), q1[++l1] = q[i]; //小于等于mid才进树状数组
			else q2[++l2] = q[i];
		} else{ //QUERY
			int rnk = ask(q[i].r) - ask(q[i].l - 1); //查询区间中小于等于mid的元素个数，即mid的排名
			if(q[i].k <= rnk) q1[++l1] = q[i];
			else q[i].k -= rnk, q2[++l2] = q[i];
		}
	}
	for(int i=1; i<=l1; i++){
		if(q1[i].type == Edit && q1[i].k <= mid)
			add(q1[i].l, -q1[i].r);
		q[ql+i-1] = q1[i];
	}
	for(int i=1; i<=l2; i++){
		q[ql + l1 + i - 1] = q2[i];
	}
	solve(l, mid, ql, ql+l1-1);
	solve(mid+1, r, ql+l1, qr);
}

int main(){
	int len = 0, x, l, r, cnt = 0;
	in(n); in(m);
	for(int i=1; i<=n; i++){
		in(a[i]);
		maxx = max(maxx, a[i]);
		q[++len] = op(Edit, i, 1, a[i], i);
	}
	for(int i=1; i<=m; i++){
		if(gvc() == 'Q'){
			in(l); in(r); in(x);
			q[++len] = op(Query, l, r, x, ++cnt);
		} else{
			in(l); in(x);
			maxx = max(maxx, x);
			q[++len] = op(Edit, l, -1, a[l], i); //删掉原来的
			a[l] = x;
			q[++len] = op(Edit, l, 1, a[l], i);  //放进新的
		}
	}
	solve(0, maxx, 1, len);
	for(int i=1; i<=cnt; i++) printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}