数学知识

回忆一下初中数学，才发现自己并学到的东西很有限，初中的很多东西只是简单的涉及。最近又回到了初中的知识上，总结了一些在数学上自己发现和简单推理的东西。

一、勾股定理

很多人都知道勾股定理，也能够顺利的证明出来，毕竟课本上提供了很多用四边形证明的方法，不过如果给出一个圆和一个直角三角形，能证明吗？答案是肯定的，这个相信很多人在初中的时候就已经发现了（我是在学圆的时候偶然发现的）。

在这个三角形中，我们设圆的半径为r，即EO=DO=FO=r，AC=a，BC=b，AB=c。

我们都知道r可以用a、b、c表示出来，用面积法可以轻易得出r=ab/（a+b+c）；利用圆的切线的性质可以轻易得出r=（a+b-c）/2。

将这两个式子相等，可以推出a^2+b^2=c^2。并且在证明过程中没有用到与勾股定理有关的推论或者它本身，所以我们就可以把这个当做是一个正确的证明方法了。

二、抛物线

（1）、不知道有多少人和我一样，在初中的学习中一直没有弄明白抛物线的定义，便开始使用了。到了高中，还是新华词典告诉我什么是抛物线：到定点和定直线的距离相等的点的集合。

对于一条对称轴垂直于x轴的抛物线，我们可以进行一些下面简单的推论。

我们先从反面进行验算：

再把情况放的特殊点，设抛物线解析式y=ax^2+c（a<>0），那么我们就可以把定直线看做x轴，定点坐标为 M（0,2c）。设抛物线上的点坐标为P（t，at^2+c），s1为点P到x轴的距离，s2为线段PM的长度。s1=at^2+c,

s2=(t^2+(2c-at^2-c)^2)^(1/2)，中间的化简过程就不在写出了。s1^2=a^2t^4+c^2+2act^2,s2^2=(1-2ac)t^2+a^2t^4+c^2,比较s1和s2我们可以看到（1-2ac）t^2=2act^2 ∴c=1/(4a)

所以y=ax^2+(1/(4a)),所以定点的坐标就是（0,1/（2a））,定直线就是x轴。

把这条抛物线平移，就可以的得到任意一条抛物线y=ax^2+bx+c(a<>0)所对应的定点（-b/(2a),(4ac-b^2+1)/（4a）），定直线的解析式为y=((4ac-b^2-1)/(4a))。

我们回到原来的定义，对于一个定点（p，q）和定直线y=t（在这里，我们为了简化，就只看定直线平行于x轴的情况），我们可以的到抛物线的解析式为y=(1/(2q-2t))x^2+(p/(t-q))x+((p^2+q^2-t^2)/(2q-2t))。

这样，对于对称轴垂直于y轴的情况也可以将x、y互换得到，当然也可以将坐标轴中y轴与抛物线的对称轴平行建立，然后进行一些旋转就可以了，虽然y不再是x的函数，但是x、y之间的关系也可以表示出来。

对于一条抛物线，经过焦点（也就是之前所说的定点）的光线（数学中的直线）经抛物线反射后一定是与对称轴平行的。

（2）、应用：最后，我们来看一个神奇的物理学上抛物线的应用。

我们都知道，自行车灯用互相垂直的两个平面镜，就能将入射光平行射出。对于一些车灯，它们的灯罩显然不是两个互相垂直的平面镜这么简单，有的是一个抛物线绕着对称轴旋转而成的空间图形，我们这里利用以上的性质就可以发现，这样的灯光散射的少，也就能使光更加的明亮集中。

证明如下：在抛物线y=ax^2+(1/(4a))(a<>0)中，取点P(t,at^2+（1/(4a)))，我们从这点向x轴做垂直，垂足为C，抛物线焦点M（0，1/（2a）），P点处抛物线的切线与y轴的交点为D，则这条切线的解析式y=2atx+1/(4a)-at^2（这条直线解析式的k值就是抛物线在P点处的斜率）,那么D点坐标就是（0,1/（4a）-at^2）,MD=MP=PC,且MD∥PC，所以四边形MDCP就是一个菱形，从而过M点的反射时法线的平行线（也就是过M点的切线的垂线）平分角DMP，从而反射光线和入射光线之间的夹角的大小就等于角DMP，从而证明了反射光线与y轴平行。

三、pick定理

（1）内容：对于一个顶点都在格点上的多边形，I表示多边形内的格点个数，B表示多边形边上的格点个数，那么这个多边形的面积s=I+B/2-1。

（2）证明：（我们的证明分为两部分）

①我们首先证明在该定理成立的条件下，合并两个简单多边形是否成立。设两个多边形为a、b，边界上有格点c。

Sa=Ia+Ba/2-1，Sb=Ib+Bb/2-1。

Sab=Sa+Sb=Ia+Ib+(Ba+Bb)/2-2;(上两式相加即可)

Sab=(Ia+Ib+(c-2))+(Ba+Bb-2*(c-2)-2)/2-1=Ia+Ib+(Ba+Bb)/2-2;(套用该定理)

对多边形进行分割的证明也是成立的。

②严格来说，这里才是该定理的证明部分：我们先证明边平行于轴的矩形、再证明对角线分开的三角形、再推广到普通的三角形。

对于边平行于轴的矩形：设边上的格点为m、n个。S=（m-1）（n-1）=mn-n-m+1=（m-2）（n-2）+（2（m+n）-4)/2-1，最后一个式子正好就是pick定理的内容，因此该部分证毕；

对于对角线分开的三角形：设对角线上有格点c个。S=（m-1）(n-1)/2=mn/2-n/2-m/2+1/2=((m-2)(n-2)-(c-2))/2+(m+n+c-3)/2-1，同上，该部分证毕。

对于普通的三角形，我们可以用前两种情况分割得到，根据①中的证明，我们可以进行这样的分割和合并。

有了普通三角形的成立，我们就可以推广到普通多边形了（每一个多边形都可以划分为多个三角形）。

（3）应用：①在平面直角坐标系中，我们作直线x+y=q（q是质数），这条直线穿过第一象限的q-1个格点，连接这q-1个格点和原点，得到q-2个三角形，这些三角形内的格点是一样的。这么神奇的事实怎么证明呢？这些三角形的面积S相等，同时因为x+y=q，所以x，y互质（如果不互质就有公约数d（d>1）），q就不是素数了），所以边上都只有三个顶点，根据pick定理，就有内部的点数相等了。

②对于一个n*m的矩形，最多能覆盖多少个格点（包括边上的）。B<=2(m+n),I+B=I+B/2-1+B/2+1<=n*m+2(m+n)/2+1=(m+1)（n+1），所以最多就是矩形边和轴平行时，覆盖（m+1）（n+1）。

仅考虑边上的点的话，很明显有0<=B<=2(m+n)。

如果不包括边上的，0=>-B>=-2(m+n),I=I+B/2-1-B/2+1>=n*m-(m+n)+1=(m-1)*(n-1),且<=mn+1。所以当多边形与轴平行的时候，内部的点最少，（m-1）（n-1）；当边界上没有点的时候（平行的左右上下抖动一下），内部的点最多，为mn+1个。

③下面介绍一个非常神奇的定理证明：Farey数列中，前一项分母*后一项分子-后一项分母*前一项分子=1。

首先，我们了解一下什么叫Farey数列。我们将0~1中分母不大于k的最简分数从小到大列在一起，记做F_k。

如F_5:0/1,1/5,1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1

下面我们考虑用pick定理证明这个定理。

我们把这些分数放到平面直角坐标系中，如m/n记做（n,m）。我们考虑相邻两个分数对应的点，这两个点与原点的连线上一定没有别的点（因为最简分数的要求），那么这个阴影部分三角形的面积S=0+3/2-1=1/2，设这两个点分别是（n,m）（q,p）（沿斜率增大方向），根据叉积=np-mq=2S可以知道，np-mq=1，正好就是我们的定理。

（以上应用内容引用自http://www.matrix67.com/blog/archives/2199）

（4）既然说到了格点上的问题，我们来点有趣的小实验。

在一张白纸上给出面积小于1的一块图形（可能不规则，十分不规则），能否做出一些格点，使这个图形不经过格点。

不防做一些图形感受一下。其实做法很简单：我们随便做一些格，把他们沿格线撕开，叠到一起，把纸当做透明的，从上面看下去，一定会有一点没有图形（因为总面积小于1），所以我们可以用个针从这一点扎下去，然后将图形复原，以这些针孔为格点做一些格，就会发现这个图形并没有经过格点。

(5)和oi有点联系：（a，b）（m，n）两点连线段上整点数有gcd（m-a，n-b）+1（m>=a,n>=b）。证明方法如下：如果(m-a,n-b)=1，那么就是0个；如果（m-a,n-b）！=1就把它缩小gcd（m-a,n-b）到互质，这时候线段上只有两个点，然后相应的放大gcd（m-a,n-b），就有如上的个数了。

练习：poj2954&&poj1265

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define maxnode 3
using namespace std;
struct use{
    int xi,yi;
}p[5]={0};
int cross(int i)
{
    return ((p[i].xi-p[1].xi)*(p[i+1].yi-p[1].yi)-(p[i].yi-p[1].yi)*(p[i+1].xi-p[1].xi));
}
double area()
{
    int i,j,aa;
    aa=abs((double)cross(2));
    return (double)aa*1.0/2;
}
int gcd(int a,int b)
{
    if (!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int i,j;
    double s,b;
    while(scanf("%d%d%d%d%d%d",&p[1].xi,&p[1].yi,&p[2].xi,&p[2].yi,&p[3].xi,&p[3].yi)==6)
    {
        j=0;
        for (i=1;i<=3;++i)
        {
            if (p[i].xi==0) ++j;
            if (p[i].yi==0) ++j;
        }
        if (j==6) break;
        s=area();
        b=gcd((int)abs((double)p[1].xi-p[2].xi),(int)abs((double)p[1].yi-p[2].yi))+
          gcd((int)abs((double)p[2].xi-p[3].xi),(int)abs((double)p[2].yi-p[3].yi))+
          gcd((int)abs((double)p[1].xi-p[3].xi),(int)abs((double)p[1].yi-p[3].yi));
        i=(int)(s+1-b*1.0/2);
        printf("%d\n",i);
    }
}

poj2954

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define maxnode 500
using namespace std;
struct use{
    int xi,yi;
}p[maxnode]={0};
int corss(int i)
{
    return ((p[i].xi-p[1].xi)*(p[i+1].yi-p[1].yi)-(p[i].yi-p[1].yi)*(p[i+1].xi-p[1].xi));
}
double area(int n)
{
    int i,a=0;
    for (i=2;i<n;++i)
        a+=corss(i);
    return a*1.0/2.0;
}
int gcd(int a,int b)
{
    if (!b) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int t,n,i,j,I,B;
    double S;
    scanf("%d",&t);
    for (j=1;j<=t;++j)
    {
        S=0.0;B=I=0;
        scanf("%d",&n);
        for (i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d%d",&p[i].xi,&p[i].yi);
            B+=gcd((int)abs((double)p[i].xi),(int)abs((double)p[i].yi));
            if (i>1)
            {
                p[i].xi+=p[i-1].xi;p[i].yi+=p[i-1].yi;
            }
        }
        S=area(n);if (S<0) S=-S;
        I=(int)(S-B*1.0/2+1);
        printf("Scenario #%d:\n%d %d %0.1f\n\n",j,I,B,S);
    }
}

poj1265

posted @ 2014-12-28 19:49 Rivendell 阅读(549) 评论(0) 编辑收藏举报

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