[计数dp] 整数划分(模板题+计数dp+完全背包变种题)

计数类 dp 可分为 计数 dp 和数位统计 dp。大多是用来统计方案数什么的,特别强调 不重不漏,在此还是根据各个题的特点将计数 dp 和数位 dp 分开整理。其实数位 dp 的题目会相对多很多…

计数dp 模板题

AcWing 900.整数划分

重点: 计数 dp、完全背包问题抽象

首先模拟下样例便于理解本题:

5 = 5
  = 4 + 1
  = 3 + 2
  = 3 + 1 + 1
  = 2 + 1 + 1 + 1
  = 2 + 2 + 1
  = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
共七种划分方式

故我们可以将问题抽象为一个容量为 n 的背包,有 n 个体积为 1 ~ n 的物品,求恰好将该背包的方案数。每种物品可以使用无限次,故该问题是一个完全背包问题。

思路:

  • 状态定义:
    • f[i][j]:从 1~i 中选,且总体积恰好为 j 的选法数量
  • 状态转移:
    • 分类依据:根据最后一个物品选择个数进行状态划分,和完全背包问题的状态划分一致。
      • 第 i 个物品选 0 个:f[i-1][j]
      • 第 i 个物品选 1 个:f[i-1][j - i]
      • 第 i 个物品选 2 个:f[i-1][j - 2*i]
      • 第 i 个物品选 s 个:f[i-1][j - s*i]
    • 至此,朴素版完全背包问题就到此为止。但是,完全背包问题有一个非常厉害的优化方式。建议阅读:[背包] 背包问题算法模板(模板)
      • f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-i*2]+...+f[i-1][j-i*s]
      • f[i][j-i] = f[i-1][j-i]+f[i-1][j-i*2] +..+ f[i-1][j-i*s]
      • 仔细对比,发现 f[i][j-i] 和 f[i][j] 的后半段一样,故:
      • f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-i]
    • 故状态转移方程为:f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]
    • 和完全背包问题一样,也可以优化掉第一维,即 f[i]=f[j]+f[j-i]。体积从小到大循环即可
  • 状态初始化:f[0]=1,一个数都不选的方案是 1

完全背包代码:

const int mod = 1e9 + 7;
void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	int f[n + 1] = {1};
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = i; j <= n; ++j)
			f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
	cout << f[n] << endl;
}

除了完全背包的写法及状态定义外,也有一种其它的状态定义方式,状态转移方程不同但是却能得到相同的结果…

思路:

  • 状态定义:
    • f[i][j] :所有总和是 i,并且恰好表示成 j 个数的和的方案的数量
  • 状态转移:
    • 分类依据:根据表示成的这 j 个数中是否包含 1,来进行集合划分
      • 如果包含 1,等价于 f[i-1][j-1],等价于和是 i-1 数量是 j-1 的选法数量
      • 如果每个数大于 1,则等价于将这 j 个数全部减去一个 1,则总数减去了 j,其和 f[i-j][j] 方案数相等。
    • 故状态转移方程 f[i][j] = f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
    • 答案即为 ans = f[n][1] + f[n][2] +...+f[n][n]
  • 状态初始化f[0][0] = 1 代表总和是 0 的时候选 0 个的方案数是 1

代码:

const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N];
void solve() {
	int n;
	cin >> n, f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)ans = (ans + f[n][i]) % mod;
	cout << ans << endl;
}

故可看出,同一个 dp 问题,不同的思考方式,不同的集合划分,不同的状态转移方程,只有思路是正确的,那么就是可行的。当然,在本题,划分方式不同导致了状态转移方程的不同,进而导致了求解答案时也不同。

参考

posted @ 2021-05-14 18:57  Koshkaaa  阅读(98)  评论(0编辑  收藏  举报