拓扑排序
在有向无环图（DAG，即 Directed Acyclic Graph）中，拓扑排序（Topological Sorting）是其顶点的线性排序，使得对于从顶点 \(u\) 到顶点 \(v\) 的每个有向边，在排序中 \(u\) 都在 \(v\) 之前。
有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非 DAG 图是没有拓扑排序这个概念的。
例如，下面这个图，是一个 DAG，
算法实现
拓扑排序的实现非常之简单，下面介绍一个常用的实现算法 - 卡恩算法（Kahn's algorithm），
- 从 DAG 中选择一个没有前驱（即入度为 0）的顶点并输出；
- 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边；
- 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明该图中必然存在环，可以以此判断该图是否能生成拓扑排序序列。
代码如下：
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
int n; /* 顶点数(<=100) */
int m; /* 边数 */
int matrix[105][105]; /* 邻接矩阵 */
int inDegree[105]; /* 入度 */
void TopologicalSort() {
int num = 0; /* 已被拓扑排序的顶点的个数 */
queue<int> q;
/* 找到所有入度为 0 的顶点，并入队列 */
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (inDegree[i] == 0) {
num++;
inDegree[i]--;
q.push(i);
cout << i << " ";
}
}
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (matrix[u][v]) {
inDegree[v]--;
if (inDegree[v] == 0) {
num++;
q.push(v);
cout << v << " ";
}
}
}
}
/* 说明有环 */
if (num != n)
cout << "有环，无法生成拓扑序列";
cout << endl << endl;
}
int main() {
while (true) {
memset(matrix, 0, sizeof(matrix));
memset(inDegree, 0, sizeof(inDegree));
cout << "请输入顶点数(<=100)：";
cin >> n;
cout << "请输入边数：";
cin >> m;
cout << "请输入 " << m << " 条有向边:" << endl;
int u, v;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
cin >> u >> v;
matrix[u][v] = 1;
inDegree[v]++;
}
cout << "拓扑序列为：";
TopologicalSort();
}
return 0;
}
输出如下：
请输入顶点数(<=100)：5
请输入边数：7
请输入 7 条有向边:
1 2
1 4
2 4
2 3
4 3
3 5
4 5
拓扑序列为：1 2 4 3 5
请输入顶点数(<=100)：3
请输入边数：3
请输入 3 条有向边:
1 2
2 3
3 1
拓扑序列为：有环，无法生成拓扑序列
