国赛前纪要

欢迎补充/斧正！

模板

争取用最简洁的语言描述算法。

字符串

KMP

• 功能：求所有前缀的最长非平凡公共前后缀。

• 常见套路：

  • 连边 \(i \rightarrow ne_i\)，形成失配树，所有 border 是根链。
  • 建立转移自动机。下一位没有的字符从父亲转移，下一步有的直接走过去。从小到大转移即可。

Z函数

• 功能：求出模式串所有后缀和母串的 LCP

• 思想：充分利用当前的最远匹配信息，暴力正确的原因是暴力一次最远匹配就会变大，而这个是单调的。

• 常见套路：未知。

AC 自动机

• 功能：构建了一个实现多串匹配的自动机：每次往后添加一个字符；查询当前添加字符组成的字符串的所有后缀里，有哪些模式串。

• 思想，构建 Trie 图的同时，预处理出来所有结点所代表的前缀字符串的最长非平凡公共前后缀。

• 常见套路：快速枚举一个前缀的有效后缀，根链。

后缀数组

• 功能：求出所有后缀按字典序排序后的排名；求出排名相邻的两个字典序的 LCP。

• 思想，倍增排序，每次按照前 k 个字符字典序为第一关键字，前 k+1~2k 个字符字典序为第二关键字进行基数排序。

• 常见套路：

  • 两个后缀的 LCP 是他们 \(\min\limits_{x \in [rk_i+1,rk_j]}\{height_x\}\)
  • 建立 SA 的 height 重构树可以高效刻画 LCP。

SAM：

• 功能：将所有字串压缩到 \(O(n)\) 个节点上，同时构建了一个可以添加字符，查找子串的自动机。

• 常见套路：

  • endpos 合并
  • DAG 剖分实现枚举前缀。

Manacher

• 功能：求出以某个点（边）为中心的最长回文半径。

最小表示法

• 功能：快速判断循环同构。

图论：

最短路：

差分约束：

• 功能：可以求出满足若干二元差值不等式的一组可行解

• 常见套路：

  • 求最小值用最长路，反之用最短路。
  • 如果一张图上，给每个边指定一个时间戳，若满足所有路径只会经过 \(O(1)\) 条反边。那么按照时间戳的顺序依次增广，将在 \(O(1)\) 次内结束增广，否则有负环或正环存在。

最小生成树：

Prim,Kruskal 不说了。

Boruvka流程：

对于每个联通块，找到它向外邻接的所有边中，连接不同联通块的最小值。每次找完后尝试连接。

常见的做法是，给每个点染颜色为所在联通块的根，然后每个点需要找到它邻接的颜色不同的最小的边，贡献到所在联通块。

最欢情况下每次两两配对，会在 \(\log n\) 轮内结束。

强/点双/边双联通（圆方树）

强联通缩点成为 DAG

边双缩点后成为树，树边为桥。

点双缩点后是圆方树，圆方树上任意两点路径上的所有圆点是二者互达的必经点。

欧拉路

注意一定要搜索完某个点的所有出边后，入栈这个点，最后倒序输出。

原因在于欧拉路径起点终点不同时，如果你提前走进了非环路，就死了，倒序输出能保证非环路在最先入栈。

2-SAT

功能：处理若干个用与连接的二元或判断式的一组解。

做法：对于形如若 \(x=a\)，则 \(y=b\) 连边。连边表示可以推出，缩强连通，然后对于有矛盾的变量，若在一个分量内则无解，否则只能取拓扑序最大的。

常见套路：

• 可以使用 \(a \le x\) 作为一个结点，然后连边，这样可以将值域从 \([0,1]\) 扩展到 \([0,V]\)。

流（网络流，费用流）

上下界：若有源汇先从汇连无限流量到源变为无源汇。然后先把每条边设为下界。按照入度和出度的差值考虑从超源还是超汇连
边，每条边流量设为上下界之差即可。

三/四元环计数