生成函数

重要展开与收敛：

OGF

• \(\sum\limits_{i\ge 0}x^i=\frac{1}{1-x}\)

• \(\sum\limits_{i\ge 0}x^{k\times i}=\frac{1}{1-x^k}\)

• \(\sum\limits_{i\ge 0}p^ix^i=\frac{1}{1-px}\)

• \(\sum\limits_{i \ge 0}\binom{m+n-1}{m-1}=\frac{1}{(1-x)^m}\)

EGF

• \(\sum\limits_{i \ge 0} \frac{x^i}{i!}=e^x\)

• \(\sum\limits_{i \ge 0} \frac{p^ix^i}{i!}=e^{px}\)

• \(\sum\limits_{i \ge 0} \frac{x_i}{i}=-\ln(1-x)=\ln(\frac{1}{1-x})\) （环排列）

主要应用手段：

OGF:

• 多项式乘上 \(\frac{1}{1-x}\) 相当于做前缀和，当 \(x\) 变成 \(x^k\) 相当于做间隔为 \(k\) 的差分。

• 多项式乘 \(1-x\) 相当于做差分

• 化简 \(\prod\limits_{i}^{n}\frac{1}{1-a_ix}\)

  裂项，能裂项的要求是所有分母都是相同次幂的。

  然后可以设 \(\prod\limits_{i}^{n}\frac{1}{1-a_ix}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{t_i}{1-a_i x}\)

  然后右边通分之后根据 \(\sum\limits_{i=1}^{n}t_i \prod\limits_{j!=i}(1-a_jx)=1\)。

  能列出来 \(n\) 个方程，高斯消元就行。

  另一种是直接构造：注意到 \(x\) 可以任取，当我想解 \(t_i\) 的时候我让其他的 \(t_j\) 都乘上 \(0\)，类似拉插的感觉。

  这个 \(x\) 可以直接取 \(\frac{1}{a_i}\)，这样 \(\forall i,t_i \prod\limits_{j!=i}(1-\frac{a_j}{a_i})=1\)。直接解就行了。

  [ABC241Ex] Card Deck Score

EGF:

• exp 的组合意义：

  设 \(F(x)\) 为某个 \(EGF\)，则 \(e^{F(x)}\) 就是相当于很多个物品拼起来做完全背包。