Burnside's Lemma & Polya Theorem

群论基础：

• 群：

  满足封闭性，结合律，幺元的集合。

• 陪群：

  子群 \(H \subseteq G\)，取 \(g \in G\)，生成一个子集： \(gH = \{gh | h \in H\}\)。称为左陪集，同样的有右陪集。

• 陪集分解：

  对于 \(G\) 的所有陪集，一定只有相等和不交两种情况，因此一个 \(G\) 可以被分解为若干不交陪集。

• Lagrange 定理：

  取 \(H\) 做 \(G\) 的陪集分解后，得到的集合数量称为 \(H\) 的指数，记为： \([G:H]\)。

• 对称群：

  排列中所有映射构成的群。一个环叫轮换。

• 群作用：

  把群里面的东西和作用的集合里面的东西运算后得到了新集合，叫群作用：\(G \curvearrowright X\)。

有群作用 \(G \curvearrowright X\)，定义 \(X\) 上的二元关系 \(x \sim y \iff \exists g \in G，xg=y\)。

注意此二元关系为等价关系。

• 轨道：

  等价类的集合，记 \(x\) 所在的轨道为 \(Gx=O_x= \{ax | a\in G\}\)。

  若 \(X\) 在 \(G\) 的群作用下只有一个 \(G-\) 轨道，则称 \(G\) 在 \(X\) 上的作用可迁/传递。

• 稳定化子：

  对于 \(X\) 中的某个元素，所有群中的与其运算后自身不发生变化的元素，构成的集合，记作 \(Stab_G(x)\)。

• 轨道-稳定化子 定理：

  \(|O_x|=[G:Stab_{G}(x)]\)

  感性理解一下，轨道大小肯定去除了重复元素，因此稳定化子个数做分母。

  \(|G|=|Stab_G(x)| \times {[G:Stab_G(x)]}\)

  \(|G| = |O_x| \times |Stab_G(x)|\)

同构的本质是在定义同构群的情况下某个轨道。

Burnside's Lemma

设 \(X^g\) 表示 \(X\) 在 \(g\) 的运算下保持不变的的元素集合：\(\{x | x\in X,gx=x\}\)，叫做不动点集合。

则有轨道数量为 \(G\) 中元素平均不动点集合大小：\(\frac{1}{G} \sum\limits_{g \in G}|X^g|\)。

可以拿这个算轨道数量也就是去同构后的本质不同方案数。

Polya Theorem

还以为是啥神秘东西，原来是早就会的东西起了个名字。

对于对称群 \(S_n\)，集合 \(X\) 为排列的 \(k-\)染色方案集合 ，他的一个元素 \(P_i\) 的轮换数量为 \(c\)，则他作用在排列上的不动点数量 \(|X^{P_i}|=c ^ k\)，其中 \(k\) 是颜色集合数量。

因此对于环 \(k-\)染色去同构的方案数为：

\(\frac{\sum\limits_{d|n} n ^{d} \varphi (\frac{n}{d})}{n}=\sum\limits_{d|n} n ^{d-1} \varphi (\frac{n}{d})\)