day10T1改错记

题面

有两个串\(A\)和\(B\)，长度分别为\(n\)和\(m\)，只含'Z','P','S','B'四个大写字母，定义\(B\)在第\(p\)位(\(0 \le p \le n - m\))匹配\(A\)为对\(B\)的每个位置\(B_i\)，在\(A_{\max (0, p + i - k)}\)到\(A_{min(n - 1, p + i + k)}\)中都存在与\(B_i\)相同的字符，现给出\(A\)，\(B\)和\(k\)，问\(B\)在多少个位置和\(A\)匹配

题外话

怕是几天来改得最快的一道题了……

解析

只有四个字母，就考虑分开处理

枚举每个字符

设\(a_i\)表示\(A\)串的第\(i\)个位置能不能匹配这个字符，\(b_i\)表示\(B\)串的第\(i\)个位置是否是这个字符(\(a_i, b_i\)都是\(0/1\))

那么\(p\)位置能匹配的位置数量就是\(\sum_{i = 0}^{m - 1} b_i \cdot a_{p + i} = \sum_{i = 0}^{n - p - 1} b_i \cdot a_{p + i}\)，上界可以扩展因为\(m - 1\)之后的位置\(b\)为\(0\)，不会影响结果

设这个式子为\(f(p)\)，把\(a_i\)翻转一下，即\(g(i) = a_{n - 1 - i}\)，那么：

\[\begin{align} f(p) & = \sum_{i = 0}^{n - p - 1} b_i\cdot a_{p + i} \\ & = \sum_{i = 0}^{n - p - 1} b_i \cdot g(n - p - 1 - i) \end{align} \]

然后把\(f\)翻转，得到：

\[f(n - 1 - p) = \sum_{i = 0}^{n - p - 1} b_i \cdot g(n - p - 1 - i) \]

这不就是个卷积吗，\(FFT\)或者\(NTT\)都可以做

对每个字符求出各个位置能匹配的数量，显然只有当一个位置各个字符匹配数量的和为\(m\)的时候\(B\)才能在这个位置匹配\(A\)，最后判一下统计答案就行了

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define MAXN 200005

typedef long long LL;
const int mod = 998244353;
const char set[] = {'Z', 'P', 'S', 'B'};

int qpower(int, int, int);
void pre_rev(int);
void NTT(int *, int, int);

int K, n, m, ans, match[MAXN], rev[MAXN << 2], f[MAXN << 2], g[MAXN << 2];
char A[MAXN], B[MAXN];

inline void inc(int &x, int y) { x += y; if (x >= mod) x -= mod; }
inline void dec(int &x, int y) { x -= y; if (x < 0) x += mod; }
inline int add(int x, int y) { x += y; return x >= mod ? x - mod : x; }
inline int sub(int x, int y) { x -= y; return x < 0 ? x + mod : x; }

int main() {
	freopen("base.in", "r", stdin);
	freopen("base.out", "w", stdout);

	scanf("%d%s%s", &K, A, B);
	n = strlen(A), m = strlen(B);
	if (m > n) { puts("0"); return 0; }
	for (int i = 0; i < 4; ++i) {
		memset(f, 0, sizeof f); memset(g, 0, sizeof g);
		for (int j = 0, last = -1; j < n; ++j) {
			if (A[j] == set[i]) last = j;
			if ((~last) && last >= j - K) g[j] = 1;
		}
		for (int j = n - 1, last = -1; j >= 0; --j) {
			if (A[j] == set[i]) last = j;
			if((~last) && last <= j + K) g[j] = 1;
		}
		for (int j = 0; j < m; ++j)
			if (B[j] == set[i]) f[j] = 1;
		std::reverse(g, g + n);
		int sz;
		for (sz = 0; (1 << sz) < (n << 1); ++sz);
		pre_rev(sz);
		NTT(f, sz, 1); NTT(g, sz, 1);
		for (int i = 0; i < (1 << sz); ++i) f[i] = (LL)f[i] * g[i] % mod;
		NTT(f, sz, -1);
		for (int i = 0; i <= n - m; ++i) inc(match[i], f[n - 1 - i]);
		//debug
		//for (int i = 0; i <= n - m; ++i) printf("%d ", f[n - 1 - i]);
		//puts("");
	}
	for (int i = 0; i <= n - m; ++i) if (match[i] == m) ++ans;
	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}
int qpower(int x, int y, int p) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = (LL)res * x % p;
		x = (LL)x * x % p; y >>= 1;
	}
	return res;
}
void NTT(int *arr, int sz, int tp) {
	for (int i = 0; i < (1 << sz); ++i)
		if (rev[i] > i) std::swap(arr[i], arr[rev[i]]);
	for (int len = 2, half = 1; len <= (1 << sz); len <<= 1, half <<= 1) {
		int wn = qpower(3, (mod - 1) / len, mod);
		if (tp == -1) wn = qpower(wn, mod - 2, mod);
		for (int i = 0; i < (1 << sz); i += len) {
			int w = 1;
			for (int j = 0; j < half; ++j, w = (LL)w * wn % mod) {
				int x = arr[i + j], y = (LL)arr[i + j + half] * w % mod;
				inc(arr[i + j], y); dec(arr[i + j + half] = x, y);
			}
		}
	}
	if (tp == -1) {
		int inv = qpower(1 << sz, mod - 2, mod);
		for (int i = 0; i < (1 << sz); ++i) arr[i] = (LL)arr[i] * inv % mod;
	}
}
inline void pre_rev(int sz) {
	for (int i = 0; i < (1 << sz); ++i) rev[i] = ((rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << sz - 1));
}
//Rhein_E