鬼斧神工:求n维球的体积

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原文作者:苏剑林


标准思路
简单来说,\(n\)维球体积就是如下\(n\)重积分

\[V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2\dots \mathrm{d}x_n \]

用更加几何的思路,我们通过一组平行面(\(n−1\)维的平行面)分割,使得n维球分解为一系列近似小柱体,因此,可以得到递推公式

\[V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)\mathrm{d}t \]

\(t=r\sin\theta_1\),就有

\[V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 \mathrm{d}\theta_1 \]

迭代一次就有

\[V_n (r)=r^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-2} \left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\right)\cos\theta_1\cos^2\theta_2 \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2 \]

迭代\(n−1\)

\[\begin{align*}V_n (r)=&r^{n-1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_1\left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\dots \cos\theta_{n-1}\right)\times\\ &\cos\theta_1\cos^2\theta_2\dots\cos^{n-1}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}\end{align*}\]

其中\(V_1(r)=2r\),即两倍半径长的线段。从而

\[V_n (r)=2r^{n}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^{n}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1} \]

完成这个积分,最终就得到n维球体积的公式,这个积分自然是可以求出来的(只是\(n−1\)个一维积分的乘积)。但是这样的步骤太不容易了,为了将其跟伽马函数联系起来,还要做很多工作。总的来说,这是一个不容易记忆、也不怎么漂亮的标准方法。


绝妙思路
有一个利用高斯积分的绝妙技巧,能够帮助我们直接将球体积跟伽马函数联系起来,整个过程堪称鬼斧神工,而且给人“仅此一家,别无分号”的感觉。据说这个技巧为物理系学生所知晓,我是从百读文库看到的,原始来源则是《热力学与统计力学》顾莱纳(德),例5.2 理想气体的熵的统计计算。

这一绝妙的思路,始于我们用两种不同的思路计算高斯积分

\[\begin{align*} G(n)=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-x_1^2-x_2^2-\dots-x_n^2\right)\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \dots \mathrm{d}x_n\tag{1} \end{align*}\]

一方面,将\((1)\)当作\(n\)次累次积分,因为我们已经算得

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-t^2)\mathrm{d}t=\sqrt{\pi} \]

\((1)\)只不过是这样的\(n\)个积分的乘积,因此

\[\begin{align*} G(n)=\pi^{n/2}\tag{2} \end{align*}\]

另一方面,将\((1)\)当作\(n\)重积分,由于积分变量只是跟径向长度\(r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\)有关的变量,因此很容易联想到球坐标,在\(n\)维空间中,可以称为“超球坐标”,不需要将超球坐标完整写出来,只需要注意到,球内的积分,可以化为先对“球壳”进行积分,然后再对球半径进行积分。

\[\begin{align*} G(n)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}r\int_{S_n(r)}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}S_n\tag{3} \end{align*}\]

这里的\(S_n(r)\)是半径为\(r\)\(n\)维球体表面(以及表面积,在不至于混淆的情况下,这里不作区分)。但是注意到,被积函数只跟\(r\)有关,因此对球表面进行积分,等价于原函数乘以球的表面积而已,因此\((2)\)式的结果为

\[\begin{align*} G(n)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}r\exp\left(-r^2\right)S_n(r)\tag{4} \end{align*}\]

虽然我们不知道\(n\)维球的体积和表面积公式,但是我们可以肯定,\(n\)维球的体积一定正比于\(r^n\),即有

\[V_n (r)=V_n(1)r^n \]

球的表面积,就是球体积的一阶导数(考虑球壳分割),那么

\[S_n (r)=n V_n(1)r^{n-1} \]

代入\((4)\),得到

\[\begin{align*}G(n)=&n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}r^{n-1}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}r\\ =&\frac{1}{2}n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}(r^2)^{n/2-1}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}(r^2)\\ =&\frac{1}{2}n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}z^{n/2-1}\exp\left(-z\right)\mathrm{d}z\quad\left(z=r^2\right)\\ =&\frac{1}{2}n V_n(1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\tag{5}\end{align*}\]

结合\((2)\)

\[\pi^{n/2}=G(n)=\frac{1}{2}n V_n(1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \]

从而

\[V_n(1)=\frac{\pi^{n/2}}{\frac{1}{2}n\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)} \]

最后

\[\Large\boxed{\displaystyle V_n(r)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}r^n} \]

就这样得到了\(n\)维球体积公式!!对\(r\)求导得到\(n\)维球表面积公式

\[\Large\boxed{\displaystyle S_n(r)=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}r^{n-1}} \]

结合前后两个方法,就得到

\[\large\boxed{\displaystyle \color{red}{\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^{n}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}}} \]

posted @ 2016-05-27 09:09  Renascence_5  阅读(1849)  评论(0编辑  收藏