Codeforces Round 549 (Div. 1) 题解报告

Codeforces Round 549 (Div. 1) （标题为洛谷上的链接）

A.The Beatles

我们考虑先把坐标全部 \(-1\) 便于计算。此时我们固定某一个端点，枚举下一步所在的点，如果步长为 \(L\) ，那么所走的步数为 \(\frac{n \times k}{\gcd(n\times k,L)}\)，直接计算即可。
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B.Lynyrd Skynyrd

先把这个循环移位解决，我们直接双倍排列 \(P\) ，即让\(P_{i+n}=P_i\)，这样问题转化为是否存在一个子序列是 \(P\) 中长度为 \(n\) 的子区间。
按照子序列自动机的思想，假设当前匹配到 \(a_i\) ，序列 \(a_i\) 对应了排列中的元素\(p_j\) ，其下一个元素为 \(p_{j+1}\)，\(p_{j+1}\) 在 \(A\) 中出现的下一个位置为 \(nxt_i\) ，我们匹配的过程一定是 \(i -> nxt_i -> nxt_{nxt_i} -> ...\) 。
所以我们可以利用 \(\text{DFS}\) 在 \(O(n)\) 的时间内求出从 \(i\) 开始匹配，完成匹配的最小位置 \(b_i\) ，利用 \(\text{ST}\) 表求出区间内最小的 \(b_i\) 是否 \(\leq r\) 即可判断。
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C.U2

开始看以为是个计算几何，实际上并不是。
观察$ y = x^2 + bx + a $ ，经过移项可得 $ y - x^2 = bx + a$。我们发现对于经过某两个点对 \(\left( x_i, y_i\right)\)，\(\left( x_j, y_j\right)\) 的曲线，相当于经过 \(\left( x_i, y_i - x_i ^2\right)\)，\(\left( x_j, y_j - x_j ^2\right)\) 的直线。对限制条件做类似的变换，不难发现此时就是求多少个点对间的直线上方没有其他的点。
我们对其求出上凸包，不难发现只有凸包上相邻点之间构成的直线才可以是合法的。
注意：重复的直线只计入一次，凸包上的斜率应当是严格单调。*
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D.Foreigner \(\left[ * \right]\)

一直在想充要的判定条件，没有想出来。
我们换一个角度，考虑生成这些数字的过程实际相当于每次取出最小值 \(x\) ，然后将其 \(\times 10\)，在加上 \(c\) 作为个位上的数，其中 $c < rnk(x) \mod 11 $。
拼数？我们只需要知道之前的数的 \(rnk(x)\)，就可以知道下一个 \(s_{i+1}\) 可不可以拼上去了。
思考 \(rnk \left(x \times 10 + c\right)\)，其值等于
$$ 9 + \sum_{i=1}^{rnk(x)-1} i \mod 11 + (c+1) $$
考虑让 \(rnk \left(x \times 10 + c\right)\) 对 \(11\) 取模，原式变为
$$ 10 + c + \frac{\left( rnk(x) \right) \times \left( rnk(x) -1 \right)}{2} \mod 11$$
这样完全可以设出 \(dp[i][j]\) 表示以 \(s_i\) 结尾的，\(rnk = j\)，的方案数进行转移。
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E.Pink Floyd \(\left[ * \right]\)

大致题意：有一张 \(n\) 个点的完全有向图（竞赛图），现在给定若干条粉色的边（给定了方向），剩余的边均为绿色，你可以最多询问 \(2\times n\) 次 绿色边的方向，每次询问交互器会自适应的给出询问的边的方向，现在你需要在这些询问之内确定一个点 \(u\) ，使得 \(u\) 可以经过相同颜色的边到达任意的点 \(v\)。

对于没有粉色边的情况，我们可以考虑一个集合 \(S\) ，如果选定这些点作为起点，我们可以遍历所有图上的点（即没有被别的点控制的点）。我们每次查询集合中的两个点 \(u\) ，\(v\)。此时一定会有一个点被另一个点控制，我们便删去被控制的那个点。集合的性质仍然没有变，当集合大小为 \(1\) 时答案便为剩余的那个点。

如果有粉色的边，我么考虑改进上述算法，对于粉色边进行缩点，我们发现对于某个入度为 \(0\) 的强联通分量中的任意一个点（只能有一个），他的效果相当于一个没有被控制的点。所以我们也将其拉入集合\(| S |\) 中，当我们删去这个点时，代表这个点 \(u\) 由绿色的边控制，所以 \(u\)通过粉色边控制的点无法被集合中的点控制，类似拓补排序的方法，我们删去点\(u\)时将入度为 \(0\) 的点加入至集合即可保持其性质不变。
每次询问绿色边会从集合中永久删去一个点，此时询问次数 \(\leq n-1\)。
代码实现借鉴了 \(\text{APjfengc}\) 大佬。
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