欧拉函数

 

定义：正整数n， 1到n-1中与n互质的数的个数为x， 欧拉函数值phi[n]=x。

通式：phi[n]=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn)[pi为小于等于n的质因数]

如果n为质数，phi[n]=n-1。（因为对于质数n，它的因子只有1和它本身，1和n互质。所以n之前的数都和它互质

　　x=x/i*(i-1) 等价于  x-=x/i

 

性质：

1， m和n互质 那么phi[m*n]=phi[m]*phi[n]

2，费马小定理(i为质数)

　　　　　　n为i的倍数时 phi[n*i]=phi[n]*i;

　　　　　　 n不为i的倍数时 phi[n*i]=phi[n]*(i-1)

3， 1==n%2时，phi[2*n]=phi[n]

　　n为奇数

4，设小于n的与n互质的数的总和为S， 那么S=phi[n]*n/2

　　因为当x和p互质的时候，p-x和p也是互质的 

 

模板

const int mx=1e5+10;
ll euler(ll n){
    ll res=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
        if(0==n%i){//质因子
            res-=res/i;//
            while(0==n%i) n/=i;//
        }
    }
    return (n>1)?res-res/n :res;
}
ll phi[mx];
void euler(){
    phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<mx;i++){
        if(!phi[i])// 欧拉值没有计算过 不是前面的数的倍数-质数 只筛质数
        for(ll j=i;j<mx;j+=i){//i的倍数
            if(!phi[i]) phi[j]=j;//假设前面所有数字都和j互质
            phi[j]-=phi[j]/i;//
        }
    }
}