随机过程——关于Ehrenfest链的分析，以罐子模型为例

关于Ehrenfest链的分析

这道题基于的是概率论中的罐子模型，即

有两个罐子，其中一只装有N个球，我们从这N个球随机抽取一个球，把它从所在的罐子转移到另一个罐子中，用\(X_n\)表示在第n次抽取后左边罐子中球的个数。

分析：抽取后的状态（左边罐子球的个数）只与之前两个罐子的状态有关，即“未来仅与现在有关，与过去无关”，所以显然\(X_n\)具有马尔科夫性，接下来研究如何写出它的马尔科夫转移矩阵。

转移矩阵中的元素表示某状态经过“一次抽取”后转移到另一个状态的概率，所以当左边的罐子有\(i\)个球，右边的罐子有\(N-i\)个球时，抽取右边罐子中的球而使左边罐子的球变成\(i+1\)的概率为\(\frac{N-i}{N}\)，抽取左边罐子的球使状态变为\(i-1\)的概率为\(\frac{i}{N}\)，写成数学表达式为

\[P_{i,i+1}=\frac{N-i}{N},P_{i,i-1}=\frac{i}{N} \]

以\(N=4\)，即一共有4个球为例：

• 若当前状态左边没有球，右边四个球，为状态0，则只能从右边抽球，一定会转移到状态1，\(P_{0,1}=1\)。
• 若当前状态左边有1个球，右边有3个球，为状态1，则从右边抽球的概率为\(\frac{3}{4}\)，从左边抽球的概率为\(\frac{1}{4}\)，\(P_{1,2}=3/4,P_{1,0}=1/4\)。
• 其他状态同理，不再赘述。

所以计算后的转移矩阵为：

\[\begin{bmatrix} 0& 1& 0 &0 &0 \\ 1/4& 0& 3/4& 0&0 \\ 0& 1/2& 0&1/2 &0 \\ 0& 0& 3/4& 0& 1/4\\ 0& 0& 0& 1&0 \end{bmatrix} \]

需要注意的是：转移矩阵的每一行和必须是1，因为状态经过一次操作，无论是否发生转移，都仍然会在状态集的其中之一，这点可以用来检验状态矩阵是否正确；为了便于理解，一定要将“状态”同实际意义联系起来。

扩展：马尔科夫链的实际意义及相关应用：

• 天气预报
• 病情阶段预测：以艾滋病为例，如果仅仅计算某个感染者的概率，显然病情发展同该患者的治疗有密切的联系，但如果研究某个地区的艾滋病患者，那么在无外界因素干预的情况下，马尔科夫链是个不错的模型。
• 分子扩散、体育比赛等也可以应用马尔科夫链模型。