题解 【CF1208D Restore Permutation】

\(\Large\texttt {CF1208D}\)

思路：手玩，树状数组，线段树

这道题的思路就是先自己手玩数据，可以逐渐发现方法，思维难度不高。

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\(\large\texttt{Meaning}\)

有一个长度为 \(n\) ，各个数字值域为 \([1,n]\) 的全排列序列 \(a\) ，给出序列 \(b\) ，\(b_i=\sum_{j=1}^{i-1}a_j\times[a_j<a_i]\)，请求出序列 \(a\)。（保证有解）

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\(\large\texttt{Solution}\)

第一种方法：

乍一看好像毫无头绪，可以先观察下面的数据

a={5,2,3,4,1,6}

b={0,0,2,5,0,15}

容易发现， \(b\) 序列最后一个 \(0\) 的位置 \(a\) 序列对应的位置就是 \(1\) ，因为没有一个数小于 \(1\) ，并且除 \(1\) 外所有数都大于 \(1\) （只能是 \(b\) 序列中最后一个 \(0\) ）。

找到了 \(1\) ，我们先将在 \(b\) 序列的这个位置后面的贡献减去 \(1\) 。

就可以进一步推出 \(2\) 的位置，然后你会惊喜地发现找 \(2\) 的方法和 \(1\) 一样。

注意下细节：找到最后一个 \(0\) 后，要将 \(b\) 的这一位的数赋为 \(-1\) 。

这样用线段树维护就能搞定这道题。

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第二种方法：

对于一开始 \(a\) 序列最后一个数 \(x\) ， \(b\) 最后一个数的值必为 \((1+x)\times x/2\) 。

但是对于 \(x\) 之前的数 \(y\) ，它有可能大于 \(x\) ，这使得 \(b\) 这个位置上的值不是 \((y+1)\times y/2\) ,少了一个 \(x\) 。

从后往前推，并边找边用数据结构改。

可以发现可以用树状数组维护上述的 \((y+1)\times y/2-\sum x~~~(x<y)\)
。（即区间修改 \(x\) ，单点查询）。

找的时候在外面套一个二分查询就行了。

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\(\large\texttt{Code}\)

第二种方法的代码（第一种没写QwQ）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e6;
inline int read()
{
    register int s = 0;
    register bool neg = 0;
    register char c = getchar();
    for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
        neg |= (c == '-');
    for (; c >= '0' && c <= '9'; s = s * 10 + (c ^ 48), c = getchar())
        ;
    return (neg ? -s : s);
}

int a, l, r, s[N + 10], p[N + 10], ans[N + 10];

inline void insert(int n, int m)
{
    while (n <= a)
    {
        p[n] += m;
        n += n & -n;
    }
}

inline int query(int n)
{
    int m = 0;
    while (n)
    {
        m += p[n];
        n -= n & -n;
    }
    return m;
}

signed main()
{
    a = read();
    for (int i = 1; i <= a; i++)
        s[i] = read(), insert(i, i);
    for (int i = a; i >= 1; i--)
    {
        int l = 1, r = a, mid, sum = 0;
        while (l <= r)
        {
            mid = (l + r) >> 1;
            if (query(mid - 1) <= s[i])
                sum = mid, l = mid + 1;
            else
                r = mid - 1;
        }
        insert(sum, -sum);
        ans[i] = sum;
    }
    for (int i = 1; i <= a; i++)
        printf("%lld ", ans[i]);
    return 0;
}