P4877 [USACO14FEB] Cow Decathlon G

题解：P4877 [USACO14MAR] Sabotage G

题目大意

有 \(n\) 天，每天可以安排一个不同的奶牛挤奶。每头奶牛在第 \(i\) 天有特定的产量值，且在第 \(i\) 天结束时可能有多个奖励条件，求能获得的最大总产量。

题意分析

像这种没有思路的题目，先看一下 DP 可不可行，再观察到数据范围 \(n \le 20\)，不难想到状压，于是：

设 \(f_{i,mask}\) 表示前 \(i\) 天，已经挤过奶的奶牛集合为 \(mask\) 时的最大产量，接着考虑怎么转移。

状态转移

1. 安排奶牛：对于第 \(i\) 天，从所有未挤奶的奶牛中选择一头，更新状态：

   \[f_{i,mask+2^j} = \max(f_{i,mask+2^j}, f_{i-1,mask}+wis_{j,i}) \]

   其中 \(wis_{j,i}\) 表示奶牛 \(j\) 在第 \(i\) 天的产量。

2. 奖励结算：在第 \(i\) 天结束时，根据当前产量 \(f_{i,mask}\) 结算奖励。
   奖励条件按所需产量降序排序，依次判断并累加奖励值。

时间复杂度

状态数：\(O(n \cdot 2^n)\)。转移复杂度：\(O(n)\)，总复杂度：\(O(n \cdot 2^n)\)，还有一点小常数。在 \(n \le 20\) 时可接受。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define wk(x) write(x),putchar(' ')
#define wh(x) write(x),putchar('\n')
#define N 21
#define M 1100005

using namespace std;
int n,m,k,ans;
int wis[N][N],f[N][M];

struct Q{
	int x,y;
	bool operator<(const Q&A)const{
		return A.x<x;
	}
};

vector<Q> kis[N];

void read(int &x){
	x=0;int ff=1;char ty;
	ty=getchar();
	while(!(ty>='0'&&ty<='9')){
		if(ty=='-') ff=-1;
		ty=getchar();
	}
	while(ty>='0'&&ty<='9')
		x=(x<<3)+(x<<1)+ty-'0',ty=getchar();
	x*=ff;return;
}

void write(int x){
	if(x==0){
		putchar('0');return;
	}
	if(x<0){
		x=-x;putchar('-');
	}
	char asd[201];int ip=0;
	while(x) asd[++ip]=x%10+'0',x/=10;
	for(int i=ip;i>=1;i--) putchar(asd[i]);
	return;
}

int Get(int x,int y=0){
	while(x){
		if(x&1) y++;
		x>>=1;
	}return y;
}

signed main(){
	read(n),read(m);
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
		read(x),read(y),read(z);
		kis[x].push_back((Q){y,z});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			read(wis[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sort(kis[i].begin(),kis[i].end());//按p排序肯定最优，这点需要注意！
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int p=0;p<=(1<<n)-1;p++){
			if(Get(p)!=i-1) continue;//避免无效状态
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if((p|(1<<(j-1)))==p) continue;//重复
				f[i][p|(1<<(j-1))]=max(f[i][p|(1<<(j-1))],f[i-1][p]+wis[j][i]);//转移
				ans=max(f[i][p|(1<<(j-1))],ans);//取最大值
			}
		}
		for(int p=0;p<=(1<<n)-1;p++){
			if(Get(p)!=i) continue;//避免无效状态，同上
			for(int j=0;j<(int)kis[i].size();j++){
				if(f[i][p]>=kis[i][j].x) f[i][p]+=kis[i][j].y,ans=max(f[i][p],ans);//计算奖励分
			}
		}
	}
	wh(ans);
	return 0;
}