（树形dp）Spring tree

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Spring tree

题目概述

给定n个铁球，重量为w_i，再给定n - 1条弹簧（可变的边权）所链接的两端，每个位置上的铁球可以相互交换。弹簧的长度为每个节点的子树边权和+1。问从根节点（1节点）开始的最大深度。

输入 #1

4
1 2 3 4
1 2
2 3
3 4

输出 #1

23

样例说明

In the test case, keep original arrangement is a good idea.
maximum depth = (1+4) + (1+4+3) + (1+4+3+2) = 23

思路

首先我们发现，更重的球会更倾向于放到深度最深的位置。

枚举最优解中深度最深的叶子 leaf，那么最优解会怎样放置呢？

首先最重的球一定给 leaf，然后考虑 leaf 的父亲 parent(leaf)，那么最重的 size(parent(leaf)) 个球一定都在 parent(leaf) 的子树中（其中 size(u) 表示 u 的子树大小）..... 依次类推。

对球的重量排序，用 w(k) 表示 k 个最重的球的总重量。

那么我们可以把节点 u 的权值设成 w(size(u)) 接着求出树上从根到树叶找出一条权值和最大的路径即可，这个可以用 O(n) 的 DP 来实现，需要注意的是根节点没有连向父亲的弹簧，所以根节点权值应该设成 0.

AcCode：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define sp ' '
#define endl '\n'
#define push_back pb

typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int, int> PII;

const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10;

int n, m, cnt, ans;
int tree[N], siz[N], sum[N];
vi g[N];
vi w;

void dfs1(int u, int fa){
    siz[u] = 1;
    for(auto v : g[u]){
        if(v != fa) dfs1(v, u); 
        siz[u] += siz[v];
    }
}
void dfs2(int u, int fa){
	int res = 0;
	for(auto v : g[u]){
		if(v != fa){
			dfs2(v, u);
			res = max(res, tree[v] + sum[siz[v]] + 1);
		}
	}
	tree[u] = res;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
	
    cin >> n;
    rep(i, 1, n){
        int a; cin >> a;
        w.pb(a);
    }
    sort(all(w), greater<int>());
    
    rep(i, 1, n) sum[i] = sum[i - 1] + g[i];

    rep(i, 1, n - 1){
        int u, v; cin >> u >> v;
        g[u].pb(v); g[v].pb(u);
    }
	
    dfs1(1, -1);
    
    dfs2(1, -1);

    cout << tree[1] << endl;
	return 0;
}