P5608 [Ynoi2013] 文化课

P5608 [Ynoi2013] 文化课

思维难度不大，但卡常难度很大。

我的第一篇 Ynoi 题解？

Task

给出一串仅由数字和加法乘法的计算式。有三种操作：

1. 区间修改数字；

2. 区间修改运算符；

3. 查询区间运算结果。

\(n, q \le 10^5\)。

Solution

一步一步来。

1. 不带修

先考虑不带任何修改怎么做。容易发现这玩意很线段树。两个节点如何合并信息呢？

如果中间运算符为 \(+\) 直接两边答案加起来。如果是 \(\times\)，显然不能直接乘起来。考虑每个节点记录左侧的连乘长度和答案，右侧同理。实际上我们是把左边节点的右端连乘与右边的左边连乘乘起来了。

代码大概长这样：

struct Node { int l, r, llen, rlen, lmul, rmul, val; };
inline int len(Node u) { return u.r - u.l + 1; }
inline Node operator + (Node u, Node v) {
	Node res;
	res.l = u.l;
	res.r = v.r;
	res.llen = u.llen == len(u) && b[u.r] ? u.llen + v.llen : u.llen;
	res.rlen = v.rlen == len(v) && b[u.r] ? v.rlen + u.rlen : v.rlen;
	res.lmul = u.llen == len(u) && b[u.r] ? mul(u.lmul, v.lmul) : u.lmul;
	res.rmul = v.rlen == len(v) && b[u.r] ? mul(v.rmul, u.rmul) : v.rmul;
	res.val = b[u.r] ? ((0ll + u.val + v.val - u.rmul - v.lmul + mul(u.rmul, v.lmul)) % P + P) % P : add(u.val, v.val);
	return res;
}

这一部分较为简单，能获得 \(5\) 分。

2. 修改运算符

在线段树的每个节点上额外记录其右侧的运算符是什么。

用线段树维护区间修改即可。加一个 tag 即可实现。

注意如果你修改了运算符，那么这些区间的答案也会随之而改变。所以要重新 push_up 一轮，才能保证后面的操作不会出错。

现在是 \(24\) 分。

3. 修改数值

考虑如果一段区间的数值全被修改为同一个值 \(x\) 会发生什么。你会发现这段区间的答案变为了形如 \(p_1x^{q_1} + p_2x^{q_2} + \cdots + p_tx^{q_t}\) 的东西。

我们可以开一个 vector<pair<int, int> > 强制维护这些二元组 \((p_i, q_i)\)（开数组直接爆空间）。设这段区间为 \([l, r]\)，发现一个式子：

\[\sum_{i = 1}^t p_i \times q_i = r - l + 1 \]

这是显然的。由于 \(q_i\) 互不相同，本质不同的二元组数量一定 \(\le \sqrt{r - l + 1}\)，这是好证明的。

所以暴力维护复杂度是对的。合并的时候，归并两个 vector。要判断一下中间的运算符：

• 如果是 \(+\)，直接归并即可；

• 否则，你需要合并左边区间的右侧连乘与右边区间的左侧连乘。这个可以先删除再添加，有些细节。

存下了这些二元组，区间答案的计算就很显然了。

做完了，复杂度 \(O(n \sqrt n)\)。

接下来进入调试和卡常环节。提供一些警示后人和卡常技巧：

• 注意输入的值域是 \([1, 2^{32} - 1]\)，别以为可以用 int 存，int 上界是 \(2^{31} - 1\)！！！！！

• 更新完运算符一定要重新 push_up 一轮答案！你可能会问：为什么不能同时更新运算符和答案？因为两者的修改区间不一样。

• 将函数写进结构体里会快很多。

• 合并两个 vector 时有的地方能 break 就 break。

• 开一个辅助 vector 用于删除 vector 中某个元素并反复 push_back 较慢。直接 vector erase 即可。从中间插入的话可以 vector insert。

• 一定要尽量规避大量的 push_back，可以先 resize 一个大小然后直接用下标。

• 快读快输、inline 等常规卡常方法。

祝各位卡常愉快。

大战此题将近一整天才过。看来我离滚回去上文化课不远了啊。