组合数学的一些题目

🪶二项式定理

计算系数

根据二项式定理可得

$ (by+ax)^{k=\sum_\limits{i=0}}kC_k^i(by)i(ax)^{{k-i}=\sum_\limits{i=0}}kC_k^iab^ixy^i$

\(x^ny^m\)的系数即为\(C_k^ma^nb^m\)

🪶多重集

Counting swaps

由\(i\)向\(p_i\)连一条边，形成了一些环。最终状态是形成\(n\)个自环。

结论：将一个长度为\(n\)的环拆成\(n\)个自环，至少需要\(n-1\)次操作。

当前的环为\(p_1\Rightarrow p_2\Rightarrow p_3\Rightarrow …\Rightarrow p_n\Rightarrow p_1\)。交换\(p_i\)与\(p_j\)后，当前的环变为\(p_1\Rightarrow p_2\Rightarrow …\Rightarrow p_i\Rightarrow p_{i+1}\Rightarrow …\Rightarrow p_n\)，\(p_j\Rightarrow p_{j+1}\Rightarrow …\Rightarrow p_{i-1}\Rightarrow p_j\)。新形成的两个环的长度分别为\(n-(j-i)\)，\(j-i\)。将这两个环变为自环需要\(n-(j-i)-1+(j-i)+1=n-2\)次，加上刚刚的一次刚好是\(n-1\)次。

（感觉证的不太严谨🐎）

推论：将\(k\)个总长度为\(n\)的环拆成\(n\)个自环，需要至少\(n-k\)次操作。

将一个长度为\(n\)的环拆成成长度为\(x\)和长度为\(y\)的环的方案数\(T(x,y)\)

\(x=y,n为偶数\)，\(\frac{n}{2}\)

\(x\not=y或n为奇数\)，\(n\)

将\(F_n\)记为将长度为\(n\)的环拆成\(n\)个自环的方案数。

\(F_n=T(x,y)\times F_x\times F_y\times \frac{(n-2)!}{(x-1)!(y-1)!}=n^{n-2}（找规律）\)

一共有\(n-2\)次操作，\(x-1\)次拆长度为\(x\)的序列，\(y-1\)次拆长度为\(y\)的序列，可以看成一个由\(x-1\)个\(0\)和\(y-1\)个\(1\)组成的集合\(S\)，由于操作的顺序可以变，实际上是求\(S\)的一个全排列数。

最终的答案为：

\(F_{l_1}*F_{l_2}*…*F_{l_3}*…*\frac{(n-k)!}{(l_1-1)!(l_2-1)!(l_3-1)!…}\)

🪶圆排列

Two Round Dances

\(\frac{1}{2}\times\frac{n!}{(\frac{n}{2}!)^2}\times{(\frac{n}{2}-1)!}^2=\frac{1}{2}\times\frac{n!}{(\frac{n}{2})^2}=\frac{4\times n!}{2\times n^2}=2\times\frac{(n-1)!}{n}\)

🪶卡特兰数

鸡蛋饼

记\(f[k]\)为圆上有\(2k\)个点时的连接方案，画图可发现，

\(f[n+1]=f[0]f[n]+f[1][n-1]+…+f[n][0]\)

就是卡特兰数。