Making the Grade与数字序列

Making the Grade与数字序列解题报告

感觉两道题的结论以及证明方法都有相似的地方，所以放在了一起。

upd：第一次做的时候没看出来，这俩其实本质上就是同一道题……

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Making the Grade

结论：

在满足\(S\)最小化的前提下，一定存在一种构造序列\(B\)的方案，使得\(B\)中的数值都在\(A\)中出现过。

证明：

将结果用坐标轴的形式表示出来。其中\(A_i\)表示为给出的序列，\(A_i'\)表示将给出的序列进行sort后得到的序列（\(A_1'\)是A序列中第\(1\)小的，\(A_2'\)是第二小的…），图中坐标轴\(A_i\)正上方的每个点代表构造出的一组\(B\)序列中的\(B_i\)。

现在构造出的这组\(B\)序列中的一些数是位于\(A_j'\)与\(A_{j+1}'\)之间的，也就是说\(B\)中有一些数值在\(A\)中没有出现过。那么如果证明将这些\(\ge A_j'且\le A_{j+1}'\),数中的一些移到\(A_j'\)上，另一些移到\(A_{j+1}'\)上去，可以使\(S\)更小，那么就说明一定可以构造出一种\(B\)中的数值都在\(A\)中出现过的方案，使得\(S\)最小化。

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如果移动的话，应该怎么移呢？（先不加证明地给出移动方法）

1.统计出这些位于横线中间的\(B_i\)对应的\(A_i\)值中小于等于\(A_j'\)的个数\(x\)，以及大于等于\(A_{j+1}'\)的个数\(y\)。

比如在这幅图中，\(B_2,B_3,B_4\)的值\(\ge A_1'\)且\(\le A_2'\)，那么就需要统计出\(A_2,A_3,A_4\)中\(\le A_1'\)的个数\(x\)，以及\(\ge A_2'\)的个数\(y\)

\(2\).如果\(x>y\)，将这些位于横线中间\(B_i\)整体向下移，直到最靠上的一个等于\(A_{j}’\)

如果\(x >y\)，将这些位于横线中间\(B_i\)整体向上移，直到最靠下的一个等于\(A_{j+1}'\)

如果\(x=y\)，上移下移都一样。

\(3.\)每次移动后，对于移动后的当前状态不断重复上述的1,2操作，直至所有\(B_i\)都到线上，即所有\(B\)中的数值都在\(A\)中出现过。

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那么这样移动会不会使\(S\)减少呢？

当然会。

回归2操作。

1.\(x>y\)，假设下移的距离为\(d\)，那么减少的距离和是\(x\times d\)，增加的距离和是\(y\times d\)，整体减少的就是\((x-y)\times d\)，(由于\(x>y\)，一定是会减少的)。

\(2.x<y\)，假设上移的距离为\(d\)，那么减少的距离和是\(y \times d\)，增加的距离和是$ x \times d\(，整体减少的就是\)(y-x)\times d\(，(由于\)y>x$，一定是会减少的)。

\(3.\)反正\(x=y\)，怎么移都一样啦～

那么既然每种存在\(B\)不在线上的状态都有一种移动到线上的方案都可以使\(S\)减少，那么将所有\(B\)的值都移动到线上（所有\(B\)的值都在\(A\)中出现过）一定使减少量最大，所以所有\(B\)的值都在\(A\)中出现过的方案一定是最小的。

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注：这里证明的是在满足\(S\)最小化的前提下，一定存在一种构造序列\(B\)方案，使得\(B\)中的数值都在\(A\)中出现过。

并不能排除存在一种\(B\)中的数值有些在\(A\)没有出现过但是依然使\(S\)最小的方案。

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数字序列

第一问：

运用补集转化的思想，将最少改变的转化为最多保留的。

只有\(a[j]-a[i]\ge j-i\)时，才允许同时保留两者，变式得，\(a[j]-j\ge a[i]-i\)。那么如果一个数字\(a[j]\)想要被保留，就要满足\(\forall i<j,a[i]\le a[j]\),记\(b[i]=a[i]-i\),那么最终构造出的\(b\)序列一定是单调不下降的。由于要使保留的数最多，那么就应该求最长不下降子序列。

第二问：

第一问已经证明了，若想使\(a\)序列单调上升，就要使对应\(b\)序列单调不下降。那么使\(a\)序列单调上升的代价和使\(b\)序列单调不下降的代价是一样的。

如果将第二问的问法转化为：现在有一个序列\(B\)，构造出一个序列\(B'\)，满足：\(B\)单调不下降且最小化\(S=\sum_{i=1}^{N}{|B_i'-B_i|}\)，只需要求出最小值\(S\)即可。

这就是\(Making\ the\ Grade\)啊…

应用\(Making\ the\ Grade\)的结论，那么若使\(S\)最小，\(B'\)中的数值一定都在\(B\)中出现过。那么可以仿照\(Making\ the \ Grade\)的dp方法依次给它分配\(B\)中的每个数值，能不能过也不知道，还没试……

继续挖掘结论。

结论：对于区间 \([l,r]\)，使其单调不降，则存在分界点\(k\)，使\(b_i=b_l(i≤k),b_j=b_r(j>k)\)

证明：学委的证法

从增减量的角度分析，其实和\(Making\ the \ Grade\)是一样的证法。

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\(code\)

to be continued…