欧拉回路学习笔记
1.定义
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经过图G中所有边一次且一次行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。
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经过图G中所有边一次且一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
（说了和没说一样……
回路要求首尾相连，通路不要求
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具有欧拉回路的图称为欧拉图。
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具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
2.定理及推论
无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
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G为连通图。
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G仅有两个或没有奇度节点
推论：
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当G是仅有两个奇度节点的无向连通图时，G的无向欧拉通路必以此两个节点为端点。
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当G是无奇度节点的无向连通图时，G必有无向欧拉回路。
有向图G存在欧拉通路的充要条件是：
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D为有向图，D的基图连通。
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所有顶点的出度和入度都相等。
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或除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等。而两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个为-1。
推论：
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当D除出、入度之差为1，1的两个顶点之外，其余顶点的出度和入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的点作为终点。
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当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路
3.欧拉通路回路的判定
判断欧拉通路是否存在的方法：
有向图
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基图为连通图
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有一个顶点出度-入度=1，一个顶点入度-出度=1，其余都是入度=出度。
无向图
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连通图
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只有两个顶点是奇度点，其余都是偶度点。
判断欧拉回路是否存在的方法：
有向图
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基图为连通图
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所有顶点出度=入度
无向图
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连通图
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所有顶点都是偶度点
4.欧拉回路的应用
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哥尼斯堡七桥问题
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一笔画问题
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旋转鼓轮的设计
5.欧拉回路/通路的求解
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任取G中一顶点$v_0$，令$p_0=v_0$
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假设沿$p_i=v_0e_1v_1e_2…v_{i-1}e_iv_i$走到顶点$v_i$，按以下方法从$E(G)-{e1,e2,…e_i}$中选$e_{i+1}$
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$e_{i+1}$与$v_i$相联。
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除非无别的边可供选择，否则$e_{i+1}$不应该是$E(G')=E(G)-{e1,e2,…e_i}$中的割边。
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当2不能再进行时，所得到的简单回路$P_m=v_0e_1v_1e_2v_2…e_mv_m(v_m=v_0)$为G中的一条欧拉回路。
能不走桥就不走桥，实在无路可走了才去走桥
6.题目
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模版题
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fot(int &i=head[x];i;i=e[i].nxt)这样写可以变快，并不能判掉重边之类的。 -
for(int i=m-1;i>=0;i--) printf("%d",ans[i])dfs时，递归的时候是倒序存的，所以输出的时候也需要倒序输出。
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to be continued…
参考：
浙公网安备 33010602011771号