树形dp

一些规律

• 状态转移方程

  \(f[i][]\)表示\(i\)这棵子树怎样的最优解

• 用子树更新父亲

  • 一个一个子树的更新父亲（树上背包）
  • 计算完所有子树再更新子树

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题型1:子树与计数

统计子树和，通过加减一些子树满足题目中的某些性质

• Garland

  统计以每个点为根的子树和，合并时遇到一个子树和为\(\frac{sum}{3}\)的节点就记录下来。

  code

• 最大子树和

  统计每个点的子树和，cut数组标记删除。统计的时候每个节点都统计一次。

  code

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题型2:树形背包问题

一般是让求在树上选一些点满足价值最大的问题

\(f[i][j]\)表示\(i\)这棵子树选\(j\)个点的最优解

• 选课

  • 可能为一棵森林，添加\(0\)节点，使其变成一棵树。
  • \(f[i][j]\)表示在\(i\)及其子树中选\(j\)门课的最大得分。
  • 分组背包模型，对于一个节点\(x\)，有$\left | son(x) \right | $ 组物品，每组物品有\(t-1\)个，第\(i\)组的第\(j\)个物品的体积为\(j\)，价值为\(f[y_i][j]\)，背包的总体积为\(t-1\)。
  • code

• 有线电视网

  • \(f[i][j]\)表示在\(i\)及其子树里满足\(j\)名用户的最大收益。
  • 统计答案时逆序枚举\(i\)，如果有\(f[1][i]\)大于等于\(0\)，则输出\(i\)。

• 重建道路

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题型3:花费最少的费用覆盖所有点

父亲与孩子有联系

1.选父亲必须不能选孩子（强制）

2.选父亲可以不用选孩子（不强制）

• 保安站岗

  • 属于第二类

    • \(1.\)用\(x\)这个点覆盖\(x\)
    • \(2.\)用\(x\)的儿子节点\(y\)覆盖\(x\)
    • \(3.\)用\(x\)的父亲节点\(fa\)覆盖\(x\)

  • 分别用\(f[x][0],f[x][1],f[x][2]\)表示以\(x\)为根的子树中的所有点全部被覆盖，\(x\)的被覆盖状态分别上面的第\(1,2,3\)种状态。

  • \(f[x][0]+=min(f[y][0],f[y][1],f[y][2])+val[x]\)

    \(x\)已经被自己覆盖了，\(y\)既可以被自己或自己的儿子覆盖，也可以被\(x\)覆盖。

  • \(f[x][1]+=min(f[y][0],f[y][1])\)

    \(x\)已经被儿子节点覆盖了，\(y\)可以被自己或自己的儿子覆盖，但是不能被父亲覆盖。

    当选择的全部是\(f[y][1]\)时，要加上\(min(f[y][0]-f[y][1])\)

    \(x\)要被自己的儿子覆盖，但是\(x\)的所有儿子\(y\)都是被它的儿子所覆盖的，其实是没有儿子节点覆盖\(y\)的。此时要选一个最小的差值\(min(f[y][0]-f[y][1])\)，强行使一个儿子节点选自己来覆盖\(x\)。

  • \(f[x][2]+=min(f[y][0],f[y][1])\)

    \(x\)已经被父亲节点覆盖了，\(y\)可以被自己或自己的儿子覆盖，但是不能被父亲覆盖。

  • code

• 没有上司的舞会

  • 树的最大独立集，属于第一类

  • \(f[i][0]\)：在\(i\)这棵子树中，不选\(i\)的最大快乐指数。

    \(f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0])\)

  • \(f[i][1]\)：在\(i\)这棵子树中，选择\(i\)的最大快乐指数。

    \(f[x][1]+=f[y][0]\)

  • code

• Party at Hali-Bula

  • 树的最大独立集+判断方案是否唯一

  • \(f[i][0/1]\)：在\(i\)这棵子树中不选/选\(i\)的最大人数

    \(g[i][0/1]\)：在\(i\)这棵子树中不选/选\(i\)的方案是否唯一，\(g[x][0]\)为\(0\)表示方案唯一，为\(1\)表示不唯一。

  • \(f[x][1]+=f[y][0]\)，\(g[x][1]|=g[y][0]\)

  • \(f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0])\)

    • \(f[y][1]==f[y][0]\) \(g[x][0]=1\)

      已经有两种方案了。

    • \(f[y][1]>f[y][0]\) \(g[x][0]|=g[y][1]\)

    • \(f[y][0]>f[y][1]\) \(g[x][0]|=g[y][0]\)

  • code

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题型4:树上统计方案问题

给一个条件，问有多少个点的集合满足这样的条件。

运用乘法原理，控制一个点不动，看它能做多少贡献

to be continued……

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题型5:与其它算法结合&&大模拟

• 风铃

  • 把题目中的要求变成公式。

  • \(mindep[i]\)表示\(i\)子树中最浅的玩具的深度

    \(maxdep[i]\)表示\(i\)子树中最深的玩具和深度

    \(dep[i]\)表示节点\(i\)的深度

  • \(f[i]\)表示\(i\)这棵子树中构成满足条件的玩具所需的操作数。

    加边时，先添加右边的玩具后添加左边的玩具，这样遍历到一个节点时，一定会先遍历右边的玩具后便利左边的玩具。

    合并时，\(f[x]=f[toy[1]]+f[toy[2]]+((mindep[toy[1]]<maxdep[toy[2]])?1:0)\)。

  • \(n\)是杆的数量，不是玩具的数量……多开几倍空间

  • code

    to be continued……

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参考： [树形dp+树形结构总结](