二、Prime Numbers

1. 质数的核心定义
   质数（素数）是数论最基础、计算机入门最经典的算法模型。
   数学标准定义：
   在大于 1 的自然数中，只能被 1 和自身整除的数，称为质数；
   除质数和 1 以外的自然数，全部为合数。
   核心特征：
   质数最小为 2（唯一的偶数质数）
   所有大于 2 的质数一定是奇数
   质数没有除自身以外的因数
   在 Java 课程体系中，质数算法不是单纯的数学题，而是考察循环结构、条件判断、算法优化思维的核心入门作业。
2. 为什么课程必考质数算法？
   很多初学者疑惑：为什么编程入门几乎必写质数？
   原因如下：
   （1）完美考察基础语法
   质数判定必须用到：
   for 循环遍历
   if 条件判断
   标记变量思维（flag）
   边界条件处理
   是所有复杂算法的前置基础。
   （2）训练算法优化思想
   质数算法存在明显的暴力解法 → 优化解法迭代过程，
   能直观让初学者理解：
   同样结果，不同代码效率天差地别。
   （3）应用广泛
   质数在计算机领域底层大量使用：
   RSA 加密算法（网络安全核心）
   哈希表扩容规则
   随机数生成
   数据分片、离散计算
3. 质数判定核心原理分析
   判定一个数 n 是否为质数，本质逻辑：
   检查 2 ~ n-1 之间，是否存在可以整除 n 的数。
   存在 → 合数
   不存在 → 质数
   传统暴力思路（初学者写法）
   遍历：2 ~ n-1
   问题：循环次数过多，大量无效遍历，效率极低
   数学优化原理（课程重点）
   数学结论：
   若一个数 n 存在因数，则一定存在一个因数 小于等于 √n
   所以只需遍历：
   2 ~ √n
   循环直接砍掉大半次数，效率大幅提升，这是课程作业必须掌握的优化写法。
4. 易错边界总结（考试高频坑点）
   1 不是质数
   2 是最小质数、唯一偶质数
   偶数除了 2 全部不是质数
   负数不存在质数概念
5. 完整代码实战
   5.1 基础版：单数字质数判定

5.2 优化版：开平方优化修复循环语法顺序错误，规范平方根循环写法

5.3 进阶版：区间质数筛选（输出指定区间全部质数）修复缺失判断条件、循环语法错误，复用优化后的判定方法