小凯的疑惑 Plus题解及其证明

一-题面

1.题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。

现在小凯想知道：

\(1.\)在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？

\(2.\)共有多少种无法支付的物品？

注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

2.输入格式

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。

对于\(30\%\)的数据：1\(\le\)a,b$\le$50;
对于\(60\%\)的数据：1\(\le\)a,b$\le$10,000;
对于\(100\%\)的数据：1\(\le\)a,b$\le$1,000,000,000;

3.输出格式

输出\(2\)个整数，表示\(2\)个答案。

4.样例输入/输出

I.输入

3 7

II.输出

11 6

5.提示

对于样例：

小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为 1、2、4、5、8、11的物品，其中最贵的物品价值为11。 比11贵的物品都能买到，比如：

12 = 3 x 4 + 7 x 0

13 = 3 x 2 + 7 x 1

14 = 3 x 0 + 7 x 2

15 = 3 x 5 + 7 x 0

二-题解

前置：\(c\)可被表示当且仅当\(a,b,c\)均为非负整数

1. 第一问

解：第一问的解可表示为关于a,b的代数式\(ab-a-b\),理由如下

证明：

不妨设\(a<b\), 则有

\(ax+by=c\)可化为\(ax\equiv c\) (\(\bmod b\)),其中\(x \in \mathbf{Z}_{b}\)

由题易得当\(y \ge 0\)时，\(c\)可以通过\(ax+by\)这个式子被表示出来

\(\because\) 要求最大不可被表示的c

\(\therefore\) 这里 \(y=-1\)

\(\therefore\) 当\(y=-1\)时，有

\(ax+b \times (-1)=c\)不满足“\(c\)可以被表示出来”

即 \(ax-b=c\) 不满足“\(c\)可以被表示出来”

\(\because\) 要求出最大不可被表示出的\(c\)，且 \(x \in \mathbf{Z}_{b}\)

\(\therefore\) 当\(x=b-1\)时，所求出的\(c\)为最大不可被表示数

\(\therefore\) 第一问答案可表示为代数式 \(a(b-1)-b=ab-a-b\)

证毕.

2.第二问

解：第二问的解可表示为代数式\(\lceil {\frac{ab-a-b}{2}} \rceil\)，理由如下

证明：

依然设 \(a<b\)

\(\because\) 要求"\(c\)不可以被表示出来"时\(a, b\)的组数

\(\therefore\) 设

$ 0 \le x \le (b-1) $
$ (-a) \le y \le (-1) $

由乘法原理，得当\(x, y\)在上述范围内取值时，总方案数为\(a \times b\)种

容易发现，当\(x, y\)在上述范围内取值的时候，取两种特殊情况的\(x, y\)可以使得“\(c\)可以被表示出来”，分别为

1.当\(x=0\)时，此时，有\(a\)个\(y\)可以与之匹配，所以\(-a\)
2.当\(y=a-1\)时，此时，有\(b\)个\(x\)可以与之匹配，所以\(-b\)

综上，总方案数为\(ab-a-b\)

但是由于开始设的"\(a<b\)"，此时的总方案数需要除以\(2!=2\)

所以最终总方案数可表示为\(\lceil \frac{ab-a-b}{2} \rceil\)

证毕.