均值不等式

平均数不等式链复习提示

1. 核心定义：幂平均 (Power Mean)

对于 \(n\) 个正数 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和实数 \(p\)，幂平均定义为：

\[M_p = \left( \frac{x_1^p + x_2^p + \dots + x_n^p}{n} \right)^{\frac{1}{p}} \]

性质：\(M_p\) 是关于 \(p\) 的单调递增函数。

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2. 完整不等式链

\[\min(x_1, \dots, x_n) \]

\[\leqslant \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \quad (p = -1) \]

\[\leqslant \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \quad (p \to 0) \]

\[\leqslant \frac{x_i - x_j}{\ln x_i - \ln x_j} \quad \text{(对数均值，仅两项)} \]

\[\leqslant \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \quad (p = 1) \]

\[\leqslant \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}} \quad (p = 2) \]

\[\leqslant \max(x_1, \dots, x_n) \quad (p \to +\infty) \]

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3. 均值类型对照表

符号	公式	名称
\(M_{-\infty}\)	\(\min(x_1, \dots, x_n)\)	最小值
\(M_{-1}\)	\(\displaystyle \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}\)	调和均值
\(M_{0}\)	\(\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}\)	几何均值
\(L(x_i, x_j)\)	\(\displaystyle \frac{x_i - x_j}{\ln x_i - \ln x_j}\)	对数均值
\(M_{1}\)	\(\displaystyle \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\)	算术均值
\(M_{2}\)	\(\displaystyle \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}\)	平方均值
\(M_{+\infty}\)	\(\max(x_1, \dots, x_n)\)	最大值

*(注：当且仅当 \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\) 时，所有等号同时成立)