随笔分类 - 数学
摘要：X-Magic Pair 题意 给定两个数字 \(a, b\) ，每次可以把其中一个数字换成 \(|a - b|\) ，问能否经过若干次操作使得其中一个数字变成 \(k\) ? 分析 假设这两个数字为 \(14, 35\) 。我们会发现： 对小的数字进行修改是没有意义的，因为它不会产生新的数字，它只
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摘要：New Year Garland 题意 用 \(m\) 种颜色去装点 \(n\) 层的圣诞树。圣诞树的第 \(i\) 层恰好由 \(li_i\) 个彩灯串成一行，且同一层内的相邻彩灯颜色不同，同时相邻两层所使用的彩灯的颜色集合不同。问有多少种装点方案，答案对 \(p\) 取模。 分析 计数DP，用
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摘要：Bus Number 题意 给定数字 \(n\) ，求有多少个数字 \(x\) 满足： \(n\) 的所有元素都在 \(x\) 中出现过。 \(x\) 的所有元素都在 \(n\) 中出现过。 \(x\) 不含前导零。 举例：\(n\) 为2028，那么 \(x\) 可以为 \(208,820, 28
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摘要：The Intriguing Obsession 题意 有 \(3\) 个群岛，这三个群岛分别有 \(a、b、c\) 个岛屿。 现在要在这些岛之间连桥，要求每个群岛中的任意两个岛屿。要么不能联通，要么最短路为 \(3\) 。求允许建桥的所有方案数量。 分析 先对两个群岛进行分析，因为在一个群岛中，任
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摘要：Nezzar and Board 题意 有长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，每次可以选择任意两个数字 \(x, y\) (可以相同)，把 \(2 \times x - y\) 写入序列 \(a\) 中(\(x, y\) 不会消失)，问进行若干次操作后，能否得出给定数字 \(K\) ? \(1
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摘要：GCD和LCM的另一种求法
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摘要：Mike and Foam 题意 有长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，最开始里面的元素都未激活。 有 \(q\) 次询问，每次将一个元素从激活变成未激活，或者从未激活变成激活。 每次询问后，输出激活的数字中互质的序偶数量。 分析 直接对激活序列求互质序偶数量比较复杂，可以使用容斥原理。 序列
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摘要：质数筛选 质数筛选指在一个范围内筛去非质数，留下质数，通常用单独的质数数组保存留下的质数。 埃氏筛 对于每个数字(从2开始)，筛去它所有的倍数，那么留下来的一定都是质数。 证：对于任意和数 \(x\) ，一定存在一个质因数 \(pj\) ，那么我们一定可以用 \(pj\) 筛去 \(x\) 。 时间
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摘要：快速乘 在某些乘数特别大的情况，比如题目给定的模数大于 \(10^9\) ，在之后的乘法计算中可能会爆 \(long \ long\) ，可以使用 \(O(1)\) 快速乘在不爆 \(long \ long\) 的情况下算出取模后的值。 typedef long long ll; inline ll
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摘要：乘法逆元 乘法逆元可以求出 \(\displaystyle {\frac {a}{b}}\) 在取模 \(P\) 的意义下的数值。 逆元 若 \(a * x \equiv 1 \pmod q\) ，且 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么我们定义： \(x\) 为 \(a\) 的逆元，记作 \(a
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摘要：扩展中国剩余定理 中国剩余定理 对于同余方程组： \[ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ x \equiv a_3 \pmod {m_3} \\ ..... \\ x \equiv a_n \p
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摘要：康托展开(cantor expansion) 康托展开可以求出一个排列在全排列中的排名(\(0 \sim n!-1\))。 对于排列中的某一个元素 \(A_i\) ，假设它后面有 \(k\) 个元素小于 \(A_i\) ，那么我们可以将任意一个元素放到 \(A_i\) 的位置，然后剩下的元素随意摆放
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摘要：拓展欧几里得 在拓展欧几里得定理之前，先介绍以下贝祖定理： 如果方程式 \(ax + by = m\) 成立，那么 \(gcd(a, b) | m\) 显然，我们可以把原方程式写作：\(m = k1 *g * x + k2 * g * y = g(k1 * x + k2 * y)\) 根据贝祖定理，
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