Geometry / Numerical Methods tasks: Solution Set

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ICPC Shanghai 2020 A. Wowoear

通过调整法发现，最终选的线一定会经过原来折线的某个点（可能是卡在中间，可能是端点），否则可以调整到更优。

枚举这个点，把它向其他点的连线极角排序。这样会把角度分成若干个区间。其中每个角度区间往两边做射线，碰到的直线是相同的。

对于卡在中间的情况：我们要在每个角度区间里计算最优答案，发现答案是凸的，可以三分角度然后计算。这里要判断向某个方向射线是空的（不碰到折线）情况。

作为端点的情况是类似的，只需对每个角度区间计算。进一步分析会发现这种情况另一端也可以调整到接触某个端点，所以可以不用三分。

时间复杂度 \(O(n^2 \log V)\)。

ICPC Jinan 2022 F. Grid Points

这里

L. Colorful Quadrilateral

计算四边形面积的方法，AC cross BD。

考虑所有颜色都不同怎么做。

定一个方向 \(v\)，求投影最大的、和 \(v\) 平行的 AC、和 \(v\) 平行的 BD。扫描这个角度即可。

要求有 4 种颜色，可以给颜色随机赋值成新的颜色，rand 500 次。这种做法会比较卡常。

2nd Ucup Final G. Circular Parterre

官方题解写的很明白，故转载。

半径不小于最大圆的半径，考虑大于最大圆的半径的情况，那么圆并的圆弧边界实际上不构成限制，只有顶点构成限制。

求出所有圆并顶点的 V 图，V 图的顶点是可能的候选圆心，取出这些候选圆心可以得到对应的候选圆。

要判断一个候选圆是否合法，只需要判断圆心是否在圆并的圆弧拉直后的区域里，必要性是显然的，充分性可以通过分析不可能出现误判合法的情况进行证明，此处略去细节。

BalticOI 2023 D1T1. Astronomer

二分答案，并假设有一个点在圆周上，否则可以调整到更优。

枚举这个点，想象这个圆绕着这个点转一周的过程（也就是，扫描圆心对这个点的角度）。意在转的过程中，半径会实时发生变化。

对于每个其他的点，存在一个角度区间使得其在圆中。可以二分求出这个区间。

求出区间后，对角度扫描线即可。

直接做的时间复杂度是 \(O(n^2\log n\log \frac{1}{\epsilon})\)，可以通过随机打乱 + 只对改变答案的点二分的 trick 优化到 \(O(n^2\log n + n\log^2 n \log \frac{1}{\epsilon})\)。

ICPC World Finals 2021 D. Guardians of the Galler

看这个

EC-Final 2019 I. Moon

先判掉所有点共线、共面的情况，答案为 1。

求出所有点和原点的三维凸包。

对于三维凸包上的一个面，如果里面不包含原点，那就会 ban 掉它对面的一个球面多边形。算出所有的面积 \(S\)，那么 \(ans = 1 - \frac{S}{4\pi}\)（\(4\pi\) 为球表面积）。

卡精度。要全整。

Geometry PTSD

上一题的 generator。

CCPC Final 2018 F. Cones

求出所有点的 Voronoi Diagram，平面上每个点归进离它最近的那个 cone。

问题转化为求一个圆和凸多边形的交，在 cone 上垂直的体积。

将交差分为若干个扇形和三角形，分别积分。

用极坐标-半径的积分，扇形是容易的，三角形的话，先差分成直角三角形，然后要算 \(\int_{x=0}^{\theta} \sec^3 x dx\)。

EC Final 2020. Circle

题意：凸包上每个点画一个半径为 \(r\) 的圆，求圆的交的面积。

首先判掉最远点对 \(>r\) 的情况。

然后考虑对圆做一个类似半平面交的操作，具体的，在栈里维护当前“有效”的若干个圆，按凸包顺序加入新的圆，如果能使栈顶（对最终面积的限制）变的无效就 pop 栈顶。

【此处需要画图】

最终面积的形状就是栈中每个圆的一段圆弧拼起来。不难算面积。时间复杂度线性。

QOJ 1818; NAC 2021. Apple Orchard

求出所有圆的 power diagram。

对于每个圆，其贡献的面积就是 power diagram + 输入的矩形 + 圆的交。

QOJ 4618. Driverless Car II

将可贡献的每个点归到距离它最近的两个点里。

求出所有点的 V 图，对于 V 图上的每条边，都对应两个点，这两个点会对应一个贡献。

再枚举第三个点，那么就会产生若干个半平面的限制。那就要求一个椭圆和一堆半平面的交，拉伸一下坐标轴就可以求。

V 图的总边数是 \(O(n)\) 的，所以复杂度是 \(O(n^2\log n)\)。

CCPC Jinan 2024 G. The Wheel of Fortune

问题的关键在于求出：一个凸包内有一个点，这个点向外发射了若干条射线，最终切割出来的每块的面积。

有一个精巧的 \(O(n\log n)\) 实现，只需要 convex cut：分治，取 mid 这条直线，两边都是做一次 convex cut 后递归下去。递归每层的多边形边数总和是 \(O(n)\) 的。

ICPC Hangzhou 2024 C. Catch the Star

两凸包切线。

ICPC Shenyang 2021 A. A Bite of Teyvat

一种不用 Power diagram 的理解方式：

维护哪些圆还没有被完全覆盖住。外面没被覆盖住的圆弧可以算面积。

依次加入每个圆时，向左找到第一个没被覆盖住的圆 battle 一下。

如果左边的圆被删除，就继续；如果新加的圆被删除就 over 了；否则，更左边的圆不可能被继续删除。

右边同理。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

ICPC Shanghai 2024 A. Ancient Maps, Hidden Danger

一个点如果能被照亮，就要存在一条 A->P 射线不被挡住

对于每个点 P，有一个 ban 掉的区域，最后阴影是这些区域取交集

简单多边形取交集有点变态，大概要把所有线交出来的区域都抠出来算。

Petrozavodsk Summer 2023 Day 6. Keychain

V 图和 Farthest V 图。

我怎么获得了最劣解

Petrozavodsk Winter 2020. Day 6. A. Outlier

可以二分出每个内部点所处的三角形 \((p_0,p_i,p_{i+1})\)。

对于删去凸包上一个顶点，凸包上会新出现一些点（位于消失的三角形中）。而每个内部点最多出现在两个消失的三角形中，总共暴力加入的就是 \(O(n)\) 的。

CTS2019 田野

https://uoj.ac/submission/716713

ZJOI2018 保镖

给定点集，求这些点以在给定矩形内等概率随机位置的点为中心，进行半径为 1 的反演后，形成的凸包的期望顶点个数。

将凸包顶点个数转化成三角剖分的三角形个数。

钦定统计的三角剖分为 Delaunay 三角剖分。

定义内圆为三个点的外接圆，内部没有其他点。

定义外圆为三个点的外接圆，外部没有其他点。

如何求内圆和外圆？只需要 V 图和 Farthest V 图即可。

EC Final 2023 H. Map 2

不会

LaLa and Magic Circle (LaLa Version)

不会

Master of Polygon

不会

Yokohama 2019-2020 Fun Region

不会