JOISC 2025 ( JOIST 2025 )

Day	A	B	C
1	√		√
2	√	√	√
3	√		√
4	√	√	√

day1 A

妙啊。

首先考虑对于一类元素，怎么判定哪些位置能被覆盖。

假设这类元素有 \(k\) 个。先倍增判定，把一个前缀的元素都加进去，使得 \(k\) 个全用了。

接下来就是判断剩下的每个区间能不能被加进去，使得 \(k\) 个仍然能全覆盖这些区间。

假设从左往右贪心，跳 \(k\) 步，每次跳到的位置是 \(r_i\)；从右往左贪心，每次跳到的是 \(l_i\)。

那么一个区间和任意 \([l_i,r_i]\) 有交，是能加进去的充要条件。

直接暴力 LCT 维护 \([l_i,r_i]\) 能有一个 元素种类数 * \(n\log n\) 的做法。

进一步发现性质：

现在的瓶颈在于，怎么在加入区间的时候快速维护 \(l_i,r_i\) 的变化，同时判断出哪个编号最小的区间和 \([l_i,r_i]\) 区间集相交。

考虑从左往右贪心，跳的每一步都对应了原来的一个区间，会有一个原来的区间集。每次如果一个原来的区间被踢出去了，它就再也无法加入了，因为如果加入了，它的跳的步数一定更大，后面一定无法在 \(k\) 步内跳完，也就不合法。

也就是可以得到，\(l_i,r_i\) 的变化次数是均摊 \(O(n)\) 的！

那么问题转化成，要维护：

• 有线段集合 A 和 B。
• 每次找到 B 中编号最小的，与 A 相交的线段，删除它；
• 每次修改 A 中的线段端点，使得线段缩短。

线段树的每个节点开一个 set，把 B 挂在线段树的 set 里，A 改变的时候就可以查询和它相交的所有 B 线段的最小值。

进一步的，由于只要查 B 最小值并且 B 只有删除，可以把 set 替换成链表。单 log。

day1 C

从小到大加点，算一算每个点最优的下一步跳到哪里，就好了。

day2 A

先把坐标转 45 度，四个目标点会变成上下左右。

利用调整法，假如 A 在 B 左边，最后去的位置不会是 A 去右边 B 去左边。

然后最终方案就是，划一条竖线一条横线，每一个 1/4 部分的人只可能去其中两个点。

假设决定了两条线的位置，对于每个部分做 \(O(tn)\) 的 DP，状态下标记录第一部分 time 之和，值记录最小的第二部分 time 之和。

先枚举其中一条线的位置，扫描第二条线，处理四个部分的 DP 值。然后就是 \(O(n^2t)\) 的了。

day2 B

只有 AABB 会产生一个不能达成的 pair。

有一个趣味 observation，每次交换一定能去掉一个不能达成的 pair。

所以问题转化成计算所有起始位置的，不能达成的 pair 个数。拆一下贡献，进而转化成对于一个 AA 求有多少个 BB 和它完全不交，于是二维数点。

day2 C

考虑树怎么做 \(\to\) 扩展到图也可以做（

考虑构造若干个排列。

对于一个排列，我们先把所有边定向成 前面 $\to $ 后面（这样是 DAG），然后询问一下。

如果能到达，那么可以二分出 \(u,v\) 的位置：假设定一个区间 \([l,r]\)，把在 \([l,r]\) 之间的边不翻转，否则翻转，再询问，就可以得到 \(u,v\) 是否在 \([l,r]\) 之间。

那么问题转化成构造若干个排列，使得每个点对 \((u,v)\) 都满足要求。

拉出一棵生成树，点分治一下，每次点分治把点集分成均匀的两部分，然后添加两个排列。

day3 A

把 \(P_i\) 降序排序。

由于这是一个匹配，所以可以差分贡献。

我们要对于所有 \(i\) 求 \(t_i\) 表示：对于 \(1\sim i\)，只考虑这些怪物，能攻击到这些怪物的最多时间。最后答案就是 \(\sum P_i (t_i-t_{i-1})\)。

对于每个 \(i\)，要求出对所有 \(L\) 的答案，这是一个 \(i\) 段的分段凸包 \(f_i(x)\)。我们需要实现 \(O(n)\) 求出某个 \(f_i\) 的分段函数，这样总复杂度就是 \(O(n^2)\)。

day3 B

day3 C

感觉倍增一下再二分一下就好了啊。

day4 A

你可以任意翻转一个元件是 AND/OR 的状态：只需要翻转 子节点的两个父边、自己的父边。

考虑元件是一条链怎么做：

从上到下找下一个是 OR 的位置。二分下一个位置，每次翻转 \(1\) 和 \(i\)。如果 \([1,i]\) 全是 AND，那么会中间一段全是 \(0\)，顶上会是 \(1\)；否则中间会变成 \(1\)，顶上会是 \(0\)。

找到一个 OR，就把它翻转成 AND，然后二分下一个。

再考虑树怎么做：

还是从上到下做。重链剖分，每次做一堆没有上下关系的链，然后和链的做法一样：

把这些链从上到下排。二分一个位置，把这个位置所在的 \([1,i]\) 翻转，把这个位置上面的链的 \([1,len]\) 翻转。

day4 B

对每个 dep，按照 bfs 序开一颗线段树，并且让每层线段树大小都 = 叶子个数。

然后就是线段树合并模板题。

day4 C

考虑一个正确的贪心：每次从小到大取物品，如果大小相同，就从后往前取物品。

在这个贪心下，就有一些性质：

1. 判断一个物品取了 = 此时只关心比它小的物品取了哪些 = 它后面取的情况是固定的，比它小的一定都取了。于是就有一个简单的判断条件。
2. 每种大小的物品都取了一个后缀。

对于每个询问都从小到大枚举大小，判断哪些取了。可以 st 表维护查询。