UOJ 940 黑桃国王 题解
曾经有人反映说看不懂这题题解，我来写一个（
一些基础观察
首先可以只保留强连通分量里的边，考察每个强连通分量，可能有几种情况：
- 是一个“循环”，存在一个 \(k\) 使得距离 \(\bmod k\) 相同的点字符相同。此时生成的字符串数量是有限的 \(k\) 个。
- 包含至少两个“循环” \(A\) 和 \(B\)，可以生成 \(A^{\infty},(AB)^{\infty},(AAB)^{\infty},(AAAB)^{\infty},\cdots\)，此时有一个在集合中的下界 \(A^{\infty}\)。
- 可以生成 \((ABC)^{\infty},(ABBC)^{\infty},(ABBBC)^{\infty},\cdots\)，此时有一个不在集合里的下界 \((AB^{\infty}C)^{\infty}\)。
假设我们已经特判掉了第 1 种情况，考虑 2 和 3，我们可以求出一个最终集合的“上界”，再把情况 1 的串判断能否小于上界。
为了求出 2 和 3 的最小字符串，想做的是求出每个点开始，走一个字典序最小的无限环 是什么样的路径。
设 \(f(u,i)\) 表示 \(u\) 开始，走 \(i\) 步得到的字符串，最小是什么。这里只记所有 \(f(u,i)\) 之间的大小关系。
转移每步从 \(i\to i+1\) 可以递推，并且只要做 \(O(n)\) 轮，直到 \(f(u,i)\) 不再变化。
然后建一张新的有向图，图上的每个点表示一个 \(f(u,i)\) 的值，每个点仅有一条出边，指向它在原图中最小的出边的 \(f\) 值。
考虑一个强连通分量中的最小字符串：
- 如果走的是一个 \(\rho\) 形，对应情况 3。
- 如果走的是一个 \(o\) 形，且一个强连通分量中有 \(\ge 2\) 个不同的环，对应情况 2。
- 否则，对应情况 1。
这样可以得到 \(O(nm)\) 做法。
这里看似需要一些后缀数据结构来比较，但实际上，我们可以把所有点一起做这个过程，这样就同时维护了所有点 \(f\) 的值的大小关系。
优化
下面考虑优化求出 \(f\) 的过程。
我们不再考虑一轮一轮递推出 \(f\)，而是维护当前所有点 \(f\) 的相对大小关系。此时所有点会根据 \(f\) 分为若干等价类，同时维护每个等价类的最小出边。
考虑一个“等价类分裂”操作：假设一开始某个集合 \(S\) 中所有点的 \(f\) 是相等的，现在把集合 \(S\) 分成两个集合 \(S_0,S_1\)，其中 \(f(u) < f(v) (u\in S_0,v\in S_1)\)。
这会造成 \(S\) 中所有点的前驱的 \(f\) 值可能发生变化。从而发生更多的“等价类分裂”的连锁反应。
初始把所有点当成一个等价类，然后每次把最小的字母分裂出去，并且处理所有“等价类分裂”的连锁反应。
如果每次暴力处理分裂，直到不再分裂，能求出所有点的 \(f\)。时间复杂度仍为 \(O(nm)\)。
但是这里可以“启发式分裂”：选择 \(S_0,S_1\) 中 size 更小的那一边，遍历 \(S_i\) 的所有前驱，只考虑这些前驱的等价类的变化。
具体过程如下：
- 维护一个队列，存储所有分裂操作 \(S\to S_0,S_1\)。
- 一开始插入所有“分裂一个最小字母”的操作，这部分大小 \(\le n\) 个。
- 若 \(|S_0| \le |S_1|\)：
- 遍历所有 \(u\in S_0\) 的入边。
- 假设有 \(x\to u,x\in T\)，且 \(T\to S\)，则 \(T\) 的出边可能会修改。
- 由于 \(S_0\) 更小，对于所有 \(x\)，等价类都会修改为 \(T_0\)，其中 \(T_0 < T\)。
- 若 \(|S_0| > |S_1|\)：
- 若对于 \(x\)，所有 \(x\) 的出边都指向 \(S_1\)，则等价类会修改为 \(T_1\)，其中 \(T_1 > T\)。
- 遍历所有被影响的等价类 \(T\)，可能被分裂成两个集合 \(\{T_0,T\}\) 或 \(\{T,T_1\}\)。若两个集合都不为空，则需要分裂。
- 取出两个集合中更小的那一个，建立一个新的等价类。
- 以分成 \(\{T_0,T\}\) 为例：
- \(|T_0| \le |T|\)：建立一个 \(T_0\) 的等价类。
- \(|T_0| > |T|\)：遍历整个 \(T\)，求出 \(T\setminus T_0\)，建立 \(T\setminus T_0\) 的等价类。此时原来的 \(T\) 大小减半。
- 然后在队列中 push 一个分裂操作。
时间复杂度 \(O(m\log n)\)。
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