Public Round #15 题解

...... 这个梦，就是名为我们人生的，故事。

最小表示法

来源：

• https://qoj.ac/problem/1855

拆成若干次计算 \([f(a_i) = f(a_{i+1})]\)。

对于长度为 \(n\) 的串，若循环节为 \(d\)，则 \(f(s) = 1\sim d\) 的概率都为 \(\frac{1}{d}\)。

设 \(g(n)\) 为循环节为 \(n\)、长度为 \(n\) 的串个数，可以容斥得到 \(g(n) = \sum_{d|n}26^{d}\mu(\frac{n}{d})\)。

\(P(f(n)=k)\) 可以分为 \(d_0(n)\) 个值相等的连续段，对每个连续段算概率即可。

时间复杂度 \(O(n d_0(V))\)。

注意特判 \(n=1\)。

二叉搜索树

来源：

• https://qoj.ac/problem/971 加强版

首先把询问离线。考虑在链上怎么做：

考虑差分，维护两棵相邻 BST 之间的变化。扫描线，在 \([l,r]\) 加入插入操作，相当于 \(l\) 时加入了一个插入操作，\(r+1\) 时删除了一个插入操作。

考虑对于一个 \(x\)，哪些点是 \(x\) 的祖先？

对于所有比 \(x\) 大的数 \(y\)，把 \(y\) 按照值从小到大排序，一个一个扫，设 \(now=t_x\)，如果 \(t_y < now\) 则 \(y\) 记入 \(x\) 的祖先，并且 \(now \to \min(now,t_y)\)。也就是所有使 \(now\) 变小的点的权值。

以权值为下标、时间为值建线段树，那上面要求的信息就是套用楼房重建，前缀最大值线段树的做法。

对于比 \(x\) 小的 \(y\)，就是 \(y\) 按照值从大到小排序，一个一个扫。于是维护两棵前缀最大值线段树即可。

在树上的做法：

直接树链剖分，对每条链套用链的做法，时间复杂度 \(O(q\log^3 n)\)，期望得分 72 或 100，被 hos_lyric 卡过去了。

既然在链上的做法是差分，那也可以套用到树上做树上差分。发现维护的信息就是在线段树上做，可以做树上差分+线段树合并。时间复杂度 \(O(q\log^2 n)\)，期望得分 100。

算法 2 by gqh

先发现答案的形式比较简单，只和x<=query的tim后缀最小值有关，x>query同理。

然后离线下来对x排序用吉司机线段树对time去checkmin即可。

虽然是 \(q\log n\) 次区间checkmin，但是复杂度仍然是 \(O((n+q)\log^2 n)\)。

黑白球染色

来源：

• https://qoj.ac/problem/9438

相当于有一个直方图，图内的格子必须是 \(0\)，外面的格子可以是 \(0/1\)。（这里把 \(a_i\) 翻转了，变成 \(\le a_i\) 的必须是 \(0\)）

每个 \(0\to 0\) 之间必须 xor 偶数次，\(0\) 到末尾 xor 偶数或奇数次都行。

假设对于这每个绿色的区间都求出一个多项式 \(f(x)\)，\(f(x)[x^i]\) 表示在区间内操作了 \(i\) 次的方案数。

从下到上做，每个区间就是下面一层子区间一堆多项式乘起来，然后再乘一个变换。

这个变换在多项式上是 \(F(x) \to \frac{(F(x+1)+F(x-1))}{2}\)。

由于最终答案是最上面那个多项式的 \(F(0)\)，所以最下面多项式维护点值 \(F(-m...m)\)，往上一层能求出 \(F(-(m-1)..(m-1))\)，直到最上面一层能求出 \(F(0)\)，就行了。

开 \(m\) 棵线段树，维护每一层的每个区间的 \(F\) 值，以及 \(F\) 值的区间乘积。修改一个 \(a_i\) 时，只会有 \(O(m)\) 个区间的 \(F\) 值要重新计算。

时间复杂度 \(O(qm^2\log n)\)。

另一个做法：https://www.cnblogs.com/275307894a/p/18450179