min-25 筛 复习

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回忆 min-25 筛：

设 \(g(n,j) = \displaystyle\sum_{i=1}^n [i\in \text{Prime or minp}>pri_j]H(i)\)

\(H(i)\) 是积性函数，并且在 \(prime\) 处与 \(F(i)\) 相同；

递推：要减去 \(minp=pri_j\) 的合数。

\(g(n,j) = g(n,j-1) - H(pri_j)(g(n/pri_j,j-1)-g(pri_{j-1},j-1))\)

设 \(S(n,j)\) 为 \(\displaystyle \sum_{i=1}^N [\text{minp}\ i>pri_x]F(i)\)

[UR #13] Sanrd

求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n f(i)\) , \(f(i)\) 为次大质因子。

\(f(pri_j) = 0\)

设 \(S(n,j) = \displaystyle\sum_{i=1}^n [i\in \text{Prime or minp}>pri_j]f(i)\)

类似 min-25 筛的 \(S\) 来处理，枚举最小质因子和次方。（是可重的）

考虑 \(p_j\) 为次大质因子，那么 恰好有一个更大的质数 \(p_k\) ，则会被统计进入。

贡献为

\[S(x,y)=\sum_{k=y}^{P_k^2<=x}\sum_{e=1}^{P_k^e<=x}S(\frac{x}{P_k^e},k+1)+max(0,f(\frac{x}{P_k^e})-k+1)\times P_k \]

需要 min25 筛前缀质数个数。。

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uoj426

另一个题：

设 \(f(n) = d(n^3)^3,g=f*\mu\)

\(g(n) = \sum_{d|n} f(d)\mu(n/d)\)