前缀和

前缀和

前缀和是什么

可以说，前缀和是一种优化程序运行时间的一种方法，一般用于求一个序列中的区间和。

前缀和的原理

顾名思义，前缀和数组，即一个序列中前 \(i\) 个数据之和。

\[b_i = \sum_{j = 0}^{i} a_j \]

所以 \(a_l\) 到 \(a_r\) 的和是：

\[\sum_{j = l}^{r} a_j = b_r - b_{l - 1} \]

难么该如何将求前缀和的时间复杂度降到 \(O(n)\) 呢？

\[b_i = b_{i-1} + a_i \text{ （这里的 } i \text{ 是下标从 } 1 \text{ 开始的数）} \]

题目

例题 1 （P8218 求区间和）

输入 / 输出：

# input
5
1 2 3 4 5
4
1 2
1 5
2 3
3 5
# Output
1 3 6 10 15
3
15
5
12

本题是前缀和模板，不做解释。

Code

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 100005
int a[MAXN],b[MAXN];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		b[i]=b[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<b[i]<<" ";//输出前缀和数组
	cout<<endl;
	int q;
	cin>>q;
	while(q--){//询问 q 次
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		cout<<b[r]-b[l-1]<<endl;
	}
	return 0;
}

练习 1（P10233 dx 分计算）

练习 2（P1115 最大子段和）

各题代码

Code - 练习 1

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 10000005
int b[MAXN];
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		string s;
		cin>>s;
		if(s[0]=='P') b[0]=3;
		if(s[0]=='p') b[0]=2;
		if(s[0]=='G') b[0]=1;
		if(s[0]=='g'||s[0]=='m') b[0]=0;
		for(int i=1;i<s.size();i++)
		{
			if(s[i]=='P') b[i]=3+b[i-1];
			if(s[i]=='p') b[i]=2+b[i-1];
			if(s[i]=='G') b[i]=1+b[i-1];
			if(s[i]=='g'||s[i]=='m') b[i]=b[i-1];
		}
		int q;
		cin>>q;
		while(q--)
		{
			int l,r;
			cin>>l>>r;
			if(l==1) cout<<b[r-1]<<endl;
			else cout<<b[r-1]-b[l-2]<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

Code - 练习 2

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 200005
int f[MAXN];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	int x;
	cin>>x;
	f[0]=x;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int temp;
		cin>>temp;
		f[i]=max(f[i-1]+temp,temp);
	}
	int maxans=-1e9;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		maxans=max(maxans,f[i]);
	}
	cout<<maxans;
	return 0;
}